為什么茶杯蓋不會(huì)掉到茶杯里去？

 一次幾何復(fù)習(xí)課上，我提了一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題：“為什么茶杯蓋不會(huì)掉到茶杯里去？” 一個(gè)學(xué)生迫不及待地?fù)屜然卮穑骸斑@個(gè)問(wèn)題太簡(jiǎn)單了，蓋子比口大，當(dāng)然掉不進(jìn)去了�！�

我說(shuō)：“確實(shí)，蓋子比口小，它一定會(huì)掉進(jìn)去，不過(guò)，比口大，是不是就一定掉不進(jìn)去呢？請(qǐng)看，我這兒有一個(gè)鐵制的、盒口是橢圓形的茶葉盒，但是一不小蓋子就掉進(jìn)去了。（讓橢圓形蓋子的長(zhǎng)軸垂直于盒口面，且使盒蓋沿盒口長(zhǎng)軸，就能掉進(jìn)去）再看我這兒還有個(gè)木制的盒口是正方形的茶葉盒，它也能掉進(jìn)去（蓋子豎起來(lái)，沿盒口對(duì)角線放，這說(shuō)明了什么？

一學(xué)生答：“說(shuō)明剛才那位同學(xué)說(shuō)的不完全正確的，蓋子比口大并不是掉不進(jìn)去的可靠依據(jù)�！�

我說(shuō)：“回答的很好！蓋子比口大，只民必要條件，并不具有充分性。究竟掉不掉得進(jìn)去，還得看形狀。作一點(diǎn)具體分析，大家能舉出生活中的物體，它的蓋子無(wú)論怎樣都掉不進(jìn)去嗎？”

學(xué)生略作思考，答：“圓形的茶杯，圓形炊壺，圓形壇子�！�

我說(shuō)：“正確，通常蓋子和口的形狀一樣，只要圓形的蓋子比杯口大一點(diǎn)就掉不進(jìn)去。請(qǐng)看這個(gè)茶杯（演示），除了圓形處，還有其它的形狀嗎？“

課堂立刻熱鬧起來(lái)，學(xué)生議論紛紛，有的拿圓規(guī)、直尺急于作圖；有的冥思苦想，回憶所學(xué)的各種圖形尋找方案。突然有個(gè)學(xué)生站起來(lái)說(shuō)：“杯口是三角形的杯子。”話音剛落，又一位同學(xué)站起來(lái)反駁道：“三角形不行，假如一邊較長(zhǎng)，另一邊較短，讓蓋子的短邊沿杯口較長(zhǎng)邊放，就會(huì)掉進(jìn)去�！�

我說(shuō)：“有道理，能不能將上述圖形修改一下呢？”

又有一個(gè)學(xué)生說(shuō)：“正三角形“許多學(xué)生都覺(jué)得似乎正確，投去了贊同的目光。

我說(shuō)：“仔細(xì)想一想，正三角形行嗎？”

一位學(xué)生經(jīng)過(guò)畫(huà)圖后，想想說(shuō)：“不行，正三角形邊較高長(zhǎng)，高比較短，可以把蓋子豎起來(lái)，讓一條邊垂直于杯口沿著杯口的一條邊往下放，也放得進(jìn)去。”

我說(shuō)：“對(duì)！這需要多角度的空間想象，正三角形不行�！�

因?yàn)閯偛排e例說(shuō)明了正方形不行，接著有的同學(xué)提出了五邊形，正六邊形，一番爭(zhēng)論，又被其他同學(xué)否定了。因?yàn)�，正五邊形的�?duì)角線比它的高要長(zhǎng)，正六邊形有一條對(duì)角線比兩條平行之間的距離要長(zhǎng)，沿對(duì)角線放入，也會(huì)掉進(jìn)去。

幾經(jīng)討論，我說(shuō)：“可以證明任意正多邊形的蓋子（蓋子很�。�，要是它比口大‘一點(diǎn)’，就有可能掉進(jìn)去，只不過(guò)對(duì)于正三角形、正方形來(lái)說(shuō)，這‘一點(diǎn)’可稍大一些；對(duì)于邊數(shù)很多的正多邊形來(lái)說(shuō)，這‘一點(diǎn)’必須很小，請(qǐng)問(wèn)大家：這個(gè)圖形必須有何特征？”

經(jīng)過(guò)全班集體的努力與探索，推選一名學(xué)生回答我的問(wèn)題：用兩條平行線從任意的方向去夾它，平行線間的距離都相等。

我興奮地說(shuō)道：“對(duì)了！了不起，團(tuán)結(jié)起來(lái)力量大，滿足上述特征的圖形在幾何學(xué)上叫等寬（常寬）圖形。我們不要急于下結(jié)論說(shuō)常圖形只有圓。大家請(qǐng)看：正三角拱形（在黑板上作圖），是以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以它的邊長(zhǎng)為半徑，畫(huà)三段圓弧得到的。你們能證明三角拱形日等寬圖形嗎？”

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