圓的周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)
圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)(一)
教學(xué)目標(biāo) :
1、初步掌握?qǐng)A周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)公式;
2、通過(guò)弧長(zhǎng)公式的推導(dǎo),培養(yǎng)學(xué)生探究新問(wèn)題的能力;
3、調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,培養(yǎng)學(xué)生的鉆研精神;
4、進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力,綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.
教學(xué)重點(diǎn):弧長(zhǎng)公式.
教學(xué)難點(diǎn) :正確理解弧長(zhǎng)公式.
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì):
(一)復(fù)習(xí)(圓周長(zhǎng))
已知⊙O半徑為R,⊙O的周長(zhǎng)C是多少?
C=2πR
這里π=3.14159…,這個(gè)無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)叫做圓周率.
由于生產(chǎn)、生活實(shí)際中常遇到有關(guān)弧的長(zhǎng)度計(jì)算,那么怎樣求一段弧的長(zhǎng)度呢?
提出新問(wèn)題:已知⊙O半徑為R,求n°圓心角所對(duì)弧長(zhǎng).
(二)探究新問(wèn)題、歸納結(jié)論
教師組織學(xué)生探討(因?yàn)閱?wèn)題并不難,學(xué)生完全可以自己研究得到公式).
研究步驟:
(1)圓周長(zhǎng)C=2πR;
(2)1°圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)= ;
(3)n°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是1°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的n倍;
(4)n°圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)= .
歸納結(jié)論:若設(shè)⊙O半徑為R, n°圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)l,則
(弧長(zhǎng)公式)
(三)理解公式、區(qū)分概念
教師引導(dǎo)學(xué)生理解:
(1)在應(yīng)用弧長(zhǎng)公式 進(jìn)行計(jì)算時(shí),要注意公式中n的意義.n表示1°圓心角的倍數(shù),它是不帶單位的;
(2)公式可以理解記憶(即按照上面推導(dǎo)過(guò)程記憶);
(3)區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長(zhǎng)三概念.度數(shù)相等的弧,弧長(zhǎng)不一定相等,弧長(zhǎng)相等的弧也不一定是等孤,而只有在同圓或等圓中,才可能是等。
(四)初步應(yīng)用
例1、已知:如圖,圓環(huán)的外圓周長(zhǎng)C1=250cm,內(nèi)圓周長(zhǎng)C2=150cm,求圓環(huán)的寬度d (精確到1mm).
分析:(1)圓環(huán)的寬度與同心圓半徑有什么關(guān)系?
(2)已知周長(zhǎng)怎樣求半徑?
(學(xué)生獨(dú)立完成)
解:設(shè)外圓的半徑為R1,內(nèi)圓的半徑為R2,則
d= .
∵ , ,
∴ (cm)
例2,彎制管道時(shí),先按中心線計(jì)算展直長(zhǎng)度,再下料,試計(jì)算圖所示管道的展直長(zhǎng)度L(單位:mm,精確到1mm)
教師引導(dǎo)學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題,滲透數(shù)學(xué)建模思想.
解:由弧長(zhǎng)公式,得
(mm)
所要求的展直長(zhǎng)度
L (mm)
答:管道的展直長(zhǎng)度為2970mm.
課堂練習(xí):P176練習(xí)1、4題.
(五)總結(jié)
知識(shí):圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)公式;圓周率概念;
能力:探究問(wèn)題的方法和能力,弧長(zhǎng)公式的記憶方法;初步應(yīng)用弧長(zhǎng)公式解決問(wèn)題.
(六)作業(yè) 教材P176練習(xí)2、3;P186習(xí)題3.
圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)(二)
教學(xué)目標(biāo) :
1、應(yīng)用圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)公式綜合圓的有關(guān)知識(shí)解答問(wèn)題;
2、培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力和數(shù)學(xué)模型的能力;
3、通過(guò)應(yīng)用題的教學(xué),向?qū)W生滲透理論聯(lián)系實(shí)際的觀點(diǎn).
教學(xué)重點(diǎn):靈活運(yùn)用弧長(zhǎng)公式解有關(guān)的應(yīng)用題.
教學(xué)難點(diǎn) :建立數(shù)學(xué)模型.
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì):
(一)靈活運(yùn)用弧長(zhǎng)公式
例1、填空:
(1)半徑為3cm,120°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是_______cm;
(2)已知圓心角為150°,所對(duì)的弧長(zhǎng)為20π,則圓的半徑為_(kāi)______;
(3)已知半徑為3,則弧長(zhǎng)為π的弧所對(duì)的圓心角為_(kāi)______.
(學(xué)生獨(dú)立完成,在弧長(zhǎng)公式中l(wèi)、n、R知二求一.)
答案:(1)2π;(2)24;(3)60°.
說(shuō)明:使學(xué)生靈活運(yùn)用公式,為綜合題目作準(zhǔn)備.
練習(xí):P196練習(xí)第1題
(二)綜合應(yīng)用題
例2、如圖,兩個(gè)皮帶輪的中心的距離為2.1m,直徑分別為0.65m和0.24m.(1)求皮帶長(zhǎng)(保留三個(gè)有效數(shù)字);(2)如果小輪每分轉(zhuǎn)750轉(zhuǎn),求大輪每分約轉(zhuǎn)多少轉(zhuǎn).
教師引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型:
分析:(1)皮帶長(zhǎng)包括哪幾部分(+DC++AB);
(2)“兩個(gè)皮帶輪的中心的距離為2.1m”,給我們解決此題提供了什么數(shù)學(xué)信息?
(3)AB、CD與⊙O1、⊙O2具有什么位置關(guān)系?AB與CD具有什么數(shù)量關(guān)系?根據(jù)是什么?(AB與CD是⊙O1與⊙O2的公切線,AB=CD,根據(jù)的是兩圓外公切線長(zhǎng)相等.)
(4)如何求每一部分的長(zhǎng)?
這里給學(xué)生考慮的時(shí)間和空間,充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用.
解:(1)作過(guò)切點(diǎn)的半徑O1A、O1D、O2B、O2C,作O2E⊥O1A,垂足為E.
∵O1O2=2.1, , ,
∴ ,
∴ (m)
∵ ,∴ ,
∴的長(zhǎng)l1 (m).
∵, ∴的長(zhǎng)(m).
∴皮帶長(zhǎng)l=l1+l2+2AB=5.62(m).
(2)設(shè)大輪每分鐘轉(zhuǎn)數(shù)為n,則
, (轉(zhuǎn))
答:皮帶長(zhǎng)約5.63m,大輪每分鐘約轉(zhuǎn)277轉(zhuǎn).
說(shuō)明:通過(guò)本題滲透數(shù)學(xué)建模思想,弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用,求兩圓公切線的方法和計(jì)算能力.
鞏固練習(xí):P196練習(xí)2、3題.
探究活動(dòng)
鋼管捆扎問(wèn)題
已知由若干根鋼管的外直徑均為d,想用一根金屬帶緊密地捆在一起,求金屬帶的長(zhǎng)度.
請(qǐng)根據(jù)下列特殊情況,找出規(guī)律,并加以證明.
提示:設(shè)鋼管的根數(shù)為n,金屬帶的長(zhǎng)度為L(zhǎng)n如圖:
當(dāng)n=2時(shí),L2=(π+2)d.
當(dāng)n=3時(shí),L3=(π+3)d.
當(dāng)n=4時(shí),L4=(π+4)d.
當(dāng)n=5時(shí),L5=(π+5)d.
當(dāng)n=6時(shí),L6=(π+6)d.
當(dāng)n=7時(shí),L7=(π+6)d.
當(dāng)n=8時(shí),L8=(π+7)d.
猜測(cè):若最外層有n根鋼管,兩兩相鄰接排列成一個(gè)向外凸的圈,相鄰兩圓是切,則金屬帶的長(zhǎng)度為L(zhǎng)=(π+n)d.
證明略.
圓的周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)