二次根式的混合運算

 

教學建議

知識結構

重難點分析

本節(jié)課的重點是二次根式的加、減、乘、除、乘方、開方的混合運算及分母有理化。它是以二次根式的概念和性質為基礎，同時又緊密地聯(lián)系著整式、分式的運算，也可以說它是運算問題在初中階段一次總結性，提高性綜合學習；二次根式的運算和有理化的方法與技巧，能夠進一步開拓學生的解題思路，提高學生的解題能力。

本節(jié)課的難點是把分母中含有兩個二次根式的式子進行分母有理化。分母有理化，實際上二次根式的除法與混合運算的綜合運用。分母有理化的過程，一般地，先確定分母的有理化因式，然后再根據(jù)分式的基本性質把分子、分母都乘以這個有理化因式，就可使分母有理化。所以對初學者來說，這一過程容易出現(xiàn)找錯有理化因式和計算出錯的問題。

教法建議

1.在知識的引入上，可采取復習引入方式，比如復習有理數(shù)的混合運算或整式的運算。

2.在二次根式的加減、乘法混合運算中，要注意由淺入深的層次安排，從單項式與多項式相乘、多項式與多項式到乘法公式的應用，逐漸從數(shù)過渡到帶有字母的式。

3.在有理化因式教學中，要多出幾組題目從不同角度要求學生辨別，并及時總結。

學生特點：實驗班的A層學生(數(shù)學實施分層教學),主動學習積極性高，基礎扎實，思維活躍, ,并具有一定的獨立分析問題,探索問題,歸納概括問題的能力,有較好的思考、質疑的習慣。

教材特點：本節(jié)課是在學習了二次根式的三個重要概念（最簡二次根式、同類二次根式、分母有理化）和二次根式的有關運算（二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加減法）基礎上，將加、減、乘、除、乘方、開方運算綜合在一起的混合運算的學習。

鑒于學生的特點及教材的特點，本節(jié)課主要采用“互動式”的課堂教學模式及“談話式”的教學方法，以此實現(xiàn)生生互動、師生互動、學生與教材之間的互動。具體說明如下：

（一）在師生互動方面，教師注重問題設計，注重引導、點撥及提高性總結。使學生學中有思、思中有獲。如本節(jié)課開始，出示書中例題1：

讓學生先進行思考，解答。然后同學說出怎樣進行二次根式的混合運算。

強調(diào)：運算順序及運算律和有理數(shù)相同。

（二）在學生與學生的互動上，教師注重活動設計，使學生學中有樂，樂中悟道。教師設計一組題目，讓學生以競賽的形式解答，然后以記成績的方法讓其它同學說出優(yōu)點（簡便方法及靈活之處）與錯誤。由于本節(jié)課主要以計算為主，對運算法則及規(guī)律性的基礎知識，學生很容易掌握而且從意識上認為本節(jié)課太簡單，不會很感興趣，所以為了提高學生的學習興趣及更好的抓好基礎，提高學生的運算能力，如此這般設計。

（三）在個體與群體的互動方式上，教師注重合作設計，使學生學中有辯，辯中求同。如本節(jié)課中對重點問題：“分母有理化”的教學，出示一個題目，讓學生思考，找個別學生說出自己的想法，然后其它同學補充完成。

學生的主體意識和自主能力不是生來就有的，主要靠教師的激勵和主導，才能達到彼此互動。正是在這一教育思想的指導下，追求學生的認知活動與情感活動的協(xié)調(diào)發(fā)展，有效地喚起學生的主體意識，在和諧、愉快的情境中達到師生互動，生生互動�；�動式教學模式的目的是讓教師樂教、會教、善教，促使學生樂學、會學、善學，從而優(yōu)化課堂教學、提高教學質量，在和諧、愉快的情景中實現(xiàn)教與學的共振。

對二次根式混合運算新課引入的建議

復習：

1.計算：（1） ； （2） .

解：(1) (2)

= =

= ； = .

2.在整式乘法中，單項式與多項式相乘的法則是什么？多項式與多項式的乘法法則是什么？什么是完全平方式？分別用式子表示出來。

答：單項式與多項式相乘的法則是，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。用式子表示為

m(a+b+c)=ma+mb+mc

多項式與多項式相乘的法則是，先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每項，再把所得的積相加。用式子表示為

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,

其中a,b,m,n都是單項式。

完全平方式是

； 。

在實數(shù)范圍內(nèi)，整式中的乘法法則及乘法公式仍然適用，運用乘法法則及乘法公式可以進行二次根式的混合運算。引入新課。

對二次根式混合運算學法的建議

在進行二次根式的混合運算時，也有一個與分式運算相比較的問題，有的時候，加上團式分解、約分等技巧，可以大大簡化計算過程，這是要靈活運用的．因此，在本節(jié)學習時，可以適當結合11．1節(jié)的內(nèi)容，復習一下在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式的問題，如

這里再順便提一下，如

這種變形不是原來意義上的因式分解，否則就無法進行到底了．可以說是借助因式分解的方法，或具體說成提出 ，等等．

一、教學目標 

1．掌握二次根式的混合運算．

2．掌握乘法公式在混合運算的應用．

3．通過二次根式的混合運算，培養(yǎng)學生的運算能力．

4．通過例題由淺入深，層層深入，激發(fā)學生求知的欲望

二、教學設計

小結、歸納、提高

三、重點、難點解決辦法

1．教學重點：二次根式的混合運算．

2．教學難點 ：混合運算的應用．

四、課時安排

1課時

五、教具學具準備

投影儀、膠片、多媒體

六、師生互動活動設計

1．復習，運算律及乘法分式，引導學生口答，并強調(diào)數(shù)的運算律在根式運算中的適用，引入例題．

2．通過例題由淺入深，層層深入，既提高學生學習的興趣又激發(fā)學生求知的欲望；從例題的講解中幫助尋找解題的方法，規(guī)律及注意點．

3．通過大量的練習，以期形成自己所掌握的知識．

七、教學步驟 

（－）明確目標

前面學過二次根式的加減法的簡單運算，但二次根式未必全是加減混合運算，它同樣會出現(xiàn)二次根式的加、減、乘、除方等混合運算那么二次根式的混合運算的法則是什么？又將怎樣運用它進行化簡計算，這就是本節(jié)課所要研究的問題—二次根式的混合運算．

（二）整體感知

二次根式的混合運算中，應注意運算的次序．這是進行二次根式混合運算的前提條件；通過適當?shù)貜土暢朔ǚ质�，分母有理化知識，然后再進行二次根式的混合運算的教學工作，將有助于更好地學習它；同樣為了更好地理解二次根式的混合運算還可以將它與數(shù)的運算律和運算方法進行對比，以幫助學生更好地理解并準確地掌握好該知識，達到事半功倍的作用．

第一課時

（－）教學過程 

【復習】

運算律在二次根式混合運算中仍適用．

各種整式乘法的法則．

乘法公式： ．

．

提問：加法的交換律、結合律各是怎樣的？乘法的交換律、結合律、分配津各是什么？

強調(diào)數(shù)的運算律在根式運算中仍適用后，可引入例題．

【例題】

例1 計算：

（1） ；

（2） ．

解：略．

注：①加法與乘法的混合運算，可分解為兩個步驟完成，一是進行乘法運算，二是進行加法運算，使難點分散，易于學生理解和掌握．②在運算過程中，對于各個根式不一定要先化簡，而是先乘除，進行約分，達到化簡的目的，但最后結果一定要化簡．例如 ，沒有對 先進行化簡的必要，使計算繁瑣，而是應先進行乘法運算 ，通過約分達到化簡的目的．

例2 計算：

（1） ；

（2） ；

（3） ．

解：略．

注：①由學生觀察算式，找出特征：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)差的積；兩個數(shù)的和或差的平方，聯(lián)想乘法公式，與多項式的乘法相類似，二次根式的和相乘，適用乘法公式時，運用乘法公式．

②復習乘法公式，可選做幾個小題．如 ， 等．

例3 計算：

（1） ；

（2） ．

解：略．

③引入有理化因式的概念

例如， 與 ， 與 ．

注：互為有理化因式是指兩個代數(shù)式，其乘積不再含有二次根式．

可適當再舉例說明，如 與 ， 與 、 與 ，但 與 就不是互為有理化因式．

（二）隨堂練習

計算：

（1） ； （2） ；

（3） ； （4） ；

（5） ； （6） ；

（7） ； （8） ；

（9） ．

解：（1） ．

（2）

．

（3）

．

（4）

．

（5）

．

（6）

  ．

（7） ．

（8）

．

（9）

．

（三）總結、擴展

對二次根式的混合運算與整式的混合運算及數(shù)的混合運算比較，要注意運算的順序及運算律在計算過程中的作用．

有理化因式的概念需強調(diào)乘積的結果不再含有二次根式．

練習：教材P198中1、2；教材P199中3．

（四）布置作業(yè) 

教材P204中1、2、3．

（五）板書設計 

標    題

1．復習內(nèi)容 例3……

2．例題 3．有理化因式

例1…… 4．練習題

例2……

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