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數(shù)學(xué)教案-二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象

時(shí)間:2023-05-02 02:28:08 初中數(shù)學(xué)教案 我要投稿
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數(shù)學(xué)教案-二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象

教學(xué)目標(biāo) :

數(shù)學(xué)教案-二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象

1、使學(xué)生進(jìn)一步理解二次函數(shù)的基本性質(zhì);

2、滲透解析幾何,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)等數(shù)學(xué)思想.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題,及邏輯思維的能力.

3、使學(xué)生參與教學(xué)過程 ,通過主體的積極思維,體驗(yàn)感悟數(shù)學(xué).逐步建立數(shù)學(xué)的觀念,培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立地獲取知識(shí)的能力.

教學(xué)重點(diǎn):初步理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想

教學(xué)難點(diǎn) :初步理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想

教學(xué)用具:微機(jī)

教學(xué)方法:探究式、小組合作學(xué)習(xí)

教學(xué)過程 :

例1、已知:拋物線y=x2-(m2-1)x-2m2-2

⑴求證:無論m取什么實(shí)數(shù),拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)

⑵m取什么實(shí)數(shù)時(shí),兩交點(diǎn)間距離最短?是多少?

解:

△ =(m2-1)2+4(2m2+2)

=m4-2m2+1+8m2+8

=m4+6m2+9

=(m2+3)2

m2≥0

∴m2+3>0

∴△>0 

∴拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

問題:為什么說當(dāng)△>0時(shí),拋物線y =ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).(能否從數(shù)和形兩方面說明)

設(shè)計(jì)意圖:在課堂上創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生說數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì),學(xué)會(huì)合作學(xué)習(xí),以達(dá)到①經(jīng)驗(yàn)共享,在思維的碰撞中共同提高.②學(xué)會(huì)合作,消除個(gè)人中心.③發(fā)現(xiàn)自我,提高參與度.④弘揚(yáng)個(gè)體的主體性,形成健康,豐富的個(gè)性.

數(shù):點(diǎn)在曲線上,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線的方程.反之,曲線方程的每一個(gè)實(shí)數(shù)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在曲線上.拋物線與x軸的交點(diǎn),既在拋物線上,又在x軸上.所以交點(diǎn)的坐標(biāo)既滿足拋物線的解析式,也滿足x軸的解析式.設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)

    這樣交點(diǎn)問題就轉(zhuǎn)化成求這個(gè)二元二次方程組的解.代入y =0,消去y,轉(zhuǎn)化成ax2+bx+c=0這個(gè)一元二次方程求根問題.根據(jù)以前學(xué)過的知識(shí),當(dāng)△>0時(shí), ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根.∴y =ax2+bx+c

y =0

有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解

∴拋物線與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn).

形:頂點(diǎn)在x軸上方,且開口向下.或者頂點(diǎn)在x軸下方,且開口向上.

設(shè)計(jì)意圖:滲透解析幾何的基本思想

使學(xué)生掌握轉(zhuǎn)化思想使學(xué)生在解題過程中,感知數(shù)學(xué)的直觀性和形式化這二重性.掌握數(shù)形結(jié)合,分類討論的思想方法.逐步學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思維.

轉(zhuǎn)化成代數(shù)語(yǔ)言為:

小結(jié):第一種方法,根據(jù)解析幾何的基本思想.將求曲線的交點(diǎn)問題,轉(zhuǎn)化成求方程組的解的問題.

第二種方法,借助于圖象思考問題,比較直觀.發(fā)現(xiàn)規(guī)律后,再用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言將其形式化.這既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合的思想方法,也是探索解數(shù)學(xué)問題的一般方法.

思考:試從數(shù)、形兩方面說明拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與判別  式的符號(hào)的關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖:數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)再創(chuàng)造的過程,不能等同于數(shù)學(xué)知識(shí)的匯集,而要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的創(chuàng)造過程.使主體積極地參與到學(xué)習(xí)中去.以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體,揭示出蘊(yùn)涵于其中的數(shù)學(xué)思想方法,逐步形成數(shù)學(xué)觀念.

⑵m取什么實(shí)數(shù)時(shí),兩交點(diǎn)間距離最短?是多少?

解:設(shè)二次函數(shù)與x軸的兩交點(diǎn)為(x1,0),(x2,0)

解法㈠ 由⑴可知m為任何實(shí)數(shù)時(shí), 都有△>0

解①

∴  x1+x2=m2-1

x1·x2=-2(m2+1)

∴│x2-x1│=

=

=

=

=m2+3

∴當(dāng)m =0時(shí),兩交點(diǎn)最小距離為3

這里兩交點(diǎn)間距離是m的函數(shù)

設(shè)計(jì)意圖:培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí).在解題過程中,發(fā)現(xiàn)問題,并能運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí),將其一般化,形式化,解決問題,體會(huì)數(shù)學(xué)問題解決的一般方法.培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立地獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.滲透函數(shù)思想

問題: 觀察本題兩交點(diǎn)間距離與判別式的值之間有何異同?具有一般的規(guī)律嗎?如何說明.

設(shè)x1、x2 為ax2+bx+c =0的兩根

可以推出:

還可以理解為頂點(diǎn)到x軸距離最短.

設(shè)計(jì)意圖:在對(duì)比、分析中,明確概念,揭示知識(shí)間的聯(lián)系,幫助學(xué)生建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

小結(jié):觀察這道題的結(jié)論,我們猜測(cè)出規(guī)律,將其一般化,推導(dǎo)出這個(gè)公式,這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的一般方法.

解法㈡:用十字相乘法或求根公式法求根.

思考:一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系.

思考:求m取什么實(shí)數(shù)時(shí),y =x2-(m2-1)x  -2 m2-2被直線y =2所截得的線段最短?是多少?

練習(xí):

觀察函數(shù) 的圖象,回答:

(1)y>0時(shí),x的取值范圍如何?

(2)y=0時(shí),x取什么值?

(1)y<0時(shí),x的取值范圍如何?

小結(jié):數(shù)與形是數(shù)學(xué)中相互依賴的兩個(gè)方面.圖形比較直觀,可以啟發(fā)思路;而數(shù)學(xué)的嚴(yán)格證明也是必不可少的.直觀性和形式化是數(shù)學(xué)的兩重性.

探究活動(dòng)

探究問題:

欣欣日用品零售商店,從某公司批發(fā)部每月按銷售合同以批發(fā)單價(jià)每把8元購(gòu)進(jìn)雨傘(數(shù)量至少為100把),欣欣商店根據(jù)銷售記錄,這批雨傘以零售單價(jià)每把為14元出售時(shí),月銷售量為100把。如果零售單價(jià)每降價(jià)0.1元 , 月銷售量就要增加5把.

(1) 欣欣日用品零售商店以零售單價(jià)14元出售時(shí),一個(gè)月的利潤(rùn)為多少元?

(2) 欣欣日用品零售商店為了擴(kuò)大銷售記錄,現(xiàn)實(shí)行降價(jià)銷售,問分別降價(jià)0.2元、0.8元、1.2元、1.6元、2.4元、3元時(shí)的利潤(rùn)是多少?

(3) 欣欣日用品零售商店實(shí)行降價(jià)銷售后,問降價(jià)多少元時(shí)利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少元?

(4) 現(xiàn)在該公司的批發(fā)部為了再次擴(kuò)大這種雨傘的銷售量,給零售商制定如下優(yōu)惠措施:如果零售商每月從批發(fā)部購(gòu)進(jìn)雨傘的數(shù)量超過100把,其超過100把的部分每把按原價(jià)九五折(即百分之95)付費(fèi),但零售價(jià)每把不能低于10元。欣欣日用品零售商店應(yīng)將這種雨傘的零售單價(jià)定為每把多少元出售時(shí),才能使這種雨傘的月銷售利潤(rùn)最大?最大月銷售利潤(rùn)是多少元?(銷售利潤(rùn)=銷售款額—進(jìn)貨款額)

解:(1)(14—8) (元)

(2)638元、728元、748元、792元、792元、750元。

(3)設(shè)降價(jià) 元時(shí)利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為 元

=

=

=

∴ 當(dāng) 時(shí), 有最大值

(4)設(shè)降價(jià) 元時(shí)利潤(rùn)最大,利潤(rùn)為 元

(其中 )。

化簡(jiǎn),得  。

,

∴  當(dāng) 時(shí), 有最大值。

∴  。

數(shù)學(xué)教案-二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象

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