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九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽避免漏解的奧秘教案
“會(huì)而不對(duì),對(duì)而不全”,這是許多同學(xué)在解題時(shí)無(wú)法避免而又屢犯不止的錯(cuò)誤,提高解題周密性,避免漏解的奧秘在于:掌握分類討論法,學(xué)會(huì)分類討論.
分類討論就是按照一定的標(biāo)準(zhǔn),把研究對(duì)象分成幾個(gè)部分或幾種情況,然后逐個(gè)加以解決,最后予以總結(jié)作出結(jié)論的思想方法,其實(shí)質(zhì)是化整為零、各個(gè)擊破的轉(zhuǎn)化策略.
解題時(shí)何時(shí)需要進(jìn)行分類?一般來(lái)說(shuō),當(dāng)問(wèn)題包含的因素發(fā)生變化,問(wèn)題結(jié)果也相應(yīng)發(fā)生變化,我們就需要對(duì)這一關(guān)鍵因素分類討論,怎樣進(jìn)行正確分類?分類的基本要求是不重復(fù)、不遺漏,每次分類必須保持同一的分類標(biāo)準(zhǔn),多級(jí)討論,逐級(jí)進(jìn)行.
【例題求解】
【例1】 四條線段的長(zhǎng)分別為9,5, ,1(其中 為正實(shí)數(shù)),用它們拼成兩個(gè)直角三角形,且AB與CD是其中 的兩條線段(如圖),則 可取值的個(gè)數(shù)為 .
( “信利杯”競(jìng)賽題)
注:初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)的分類方法有:
(1)按定義、性質(zhì)、法則、公式分類;
(2)對(duì)參數(shù)分類;
(3)按圖形位置分類;
(4)按圖形特征分類;
(5)按余數(shù)分類.
注:參數(shù)是較為常見(jiàn)的分類對(duì)象,因?yàn)閰?shù)的不同取值,可能導(dǎo)致不同的運(yùn)算結(jié)果,或者必須使用不同的方法去解決,這一分類方法在方程、不等式、函數(shù)中有廣泛的應(yīng)用.
【例2】 方程 的所有整數(shù)解的個(gè)數(shù)是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
(山東省選拔賽試題)
思路點(diǎn)撥 這是一個(gè)特殊的冪指數(shù)方程問(wèn)題,根據(jù)冪指數(shù)的意義,可將原問(wèn)題分成三個(gè)并列的簡(jiǎn)單問(wèn)題求解:(1)非零實(shí)數(shù)的零次冪等于1;(2)1的任何次冪等于1;(3) 的偶次冪等于1.
【例3】 試確定一切有理數(shù) ,使得關(guān)于 的方程 有根且只有整數(shù)根.
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
思路點(diǎn)撥 根據(jù)方程定義, 是否為零影響方程的次數(shù),這是質(zhì)的不同,解法也不同,所以,應(yīng)對(duì)r=0及 ≠0兩種情況分類求解.
【例4】 已知一三角形紙片ABC,面積為25,BC邊的長(zhǎng)為10,∠B和∠C都為銳角,M為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)(M與點(diǎn)A、B不重合).過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC,交AC于點(diǎn)N.設(shè)MN= .
(1)用 表示△AMN的面積S△AMN;
(2)用△AMN沿MN折疊,使△AMN緊貼四邊形BCNM(邊AM、AN落在四邊形BCNM所在的平面內(nèi)),設(shè)點(diǎn)A落在平面BCNM內(nèi)的點(diǎn)為A′,△A′MN與四邊形BCNM重疊部分的面積為 .①試求出 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量 的取值范圍;②當(dāng) 為何值時(shí)重疊部分的面積 最大,最大為多少?
(蘇州市中考題)
思路點(diǎn)撥 折疊△AMN,A點(diǎn)位置不確定,可能在△ABC內(nèi)或在BC邊上或在△ABC外,故需按以上三種情況分別求出 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式,進(jìn)而求出 的最大值.
注:有關(guān)平面幾何問(wèn)題,經(jīng)常按圖形相互之間的位置進(jìn)行分類,因?yàn)閳D形存在不同的位置關(guān)系,其解答結(jié)果可能不同,也可能需要使用不同的方法解決,初中平面幾何按位置關(guān)系分類,最終一般都?xì)w結(jié)為點(diǎn)、直線和圓之間的位置關(guān)系.
【例5】 已知⊙Ol與⊙O2外切,⊙Ol的半徑R=2,設(shè)⊙O2的半徑是r.
(1)如果⊙Ol與⊙O2的圓心距d=4,求r的值;
(2)如果⊙Ol、⊙O2的公切線中有兩條互相垂直,并且r≤R,求r的值.
(南京市中考題)
思路點(diǎn)撥 題中沒(méi)有給出圖形,題設(shè)中外切兩圓的公切線中有兩條互相垂直,情況不惟一,故應(yīng)分類討論.
注:中考?jí)狠S題分類討論有以下常見(jiàn)情形:
(1)由點(diǎn)的不確定定引起的分類討論;
(2)由圖形全 等或相似的對(duì)應(yīng)關(guān) 系的不確定性引起的分類討論;
(3)由圖形運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致圖形之間位置發(fā)生變化引起的分類討論.
學(xué)力訓(xùn)練
1.已知m為實(shí)數(shù),如果函數(shù) 的圖象與 軸只有一個(gè)交點(diǎn),那么m的取值為 .
2.若實(shí)數(shù) 、 滿足 , ,則 的值為 .
3.若半徑為5和4的兩個(gè)圓相交,且公共弦長(zhǎng)為6,則它們的圓心距等于 .
4.已知⊙O和不在⊙O上的一點(diǎn)P,過(guò)P直線交⊙O于A、B點(diǎn),若PA?PB=4,OP=5,則⊙O的半徑為 .
5.和拋物線 只有一個(gè)公共點(diǎn)(-1,-1)的直線解析式為( )
A. B. C. 或 D.
6.若線段AB兩端點(diǎn)到直線 的距離分別為4和8,則AB的中點(diǎn)到直線 的距離是( )
A.2 B.4 C.6 D.2或6
7.點(diǎn)A(-4,0),B(2,0)是 坐標(biāo)平面上兩定點(diǎn),C是 的圖象上的動(dòng)點(diǎn),則滿足上述條件的直角△ABC可以畫(huà)出( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C. 3個(gè) D.4個(gè)
8.如圖,在直角梯形ABCD中,AB=7,AD=2,BC=3,如果邊AB上的點(diǎn)P使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形和以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似,那么這樣的P點(diǎn)有( )
A.1個(gè) B. 2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
9.已知關(guān)于 的方程 .
(1)求證:無(wú)論 是取何實(shí)數(shù)值,方程總有實(shí)數(shù)根;
(2)若等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng) ,另兩邊長(zhǎng)為 、 恰 好是這個(gè)方 程的兩個(gè)根,求此三角形的周長(zhǎng).
(湖北賽區(qū)選拔賽試題)
10.已知:如圖,拋物線C1經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn),頂點(diǎn)為D,且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E.
(1)求拋物線C1的解析式;
。2)求四邊形ABCD的面積;
。3)△AOB與△BDE是否相似,如果相似,請(qǐng)予以證明;如果 不相似,請(qǐng)說(shuō)明理由;
。4)設(shè)拋物線C1的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)F,另一條拋物線C2經(jīng)過(guò)點(diǎn)E(拋物線C2與拋物線C1不重合),且頂點(diǎn)為M(a,b),對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)G,且以M,G,E為頂點(diǎn)的三角形與以D,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形全等,求a,b的值(只需寫(xiě)出結(jié)果,不必寫(xiě)出解答過(guò)程)
(黃岡市中考題)
11.以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓的半徑分別為9cm和5cm,⊙O′與這兩個(gè)圓都相切,則⊙O′的半徑是 .
12.在△ABC中,AB=AC,AB的中垂線與AC所在 直線相交所得的銳角為50°,則底角B的大小為 .
13.如圖,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以C為圓心,R為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn),則R的取值范圍是 .
(北京市宣武區(qū)中考題)
14.已知點(diǎn)A(0,6),B(3,0),C(2,0),M(0,m),其中m<6,以M為圓心,MC為半徑作圓,那么當(dāng)m= 時(shí),⊙M與直線AB相切.
15.關(guān)于 的方程 有有理根,求整數(shù)是的值.
(山東賽區(qū)選拔賽試題)
16.華鑫超市對(duì)顧客實(shí)行優(yōu)惠購(gòu)物,規(guī)定如下:
(1)若一次購(gòu)物少于200元,則不予優(yōu)惠;
(2)若一次購(gòu)物滿200元,但不超過(guò)500元,按標(biāo)價(jià)給予九折優(yōu)惠;
(3)若一次購(gòu)物 超過(guò)500元,其中500元的部分給予九折優(yōu)惠,超過(guò)500元部分給予八折優(yōu)惠.
小明兩次去該超市購(gòu)物,分別付款198元與554元,現(xiàn)在小亮決定一次去購(gòu)買小明分兩次購(gòu)買的同樣多的物品,他需付款多少?
(江蘇省競(jìng)賽題)
17.如圖,已知:△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ∥AB,P點(diǎn)在AC上(與點(diǎn)A、C不重合),Q點(diǎn)在BC上.
(1)當(dāng)△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時(shí),求CP的長(zhǎng);
(2)當(dāng)△PQC的 周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等時(shí),求CP的長(zhǎng);
(3)試問(wèn):在AB上是否存在點(diǎn)M,使得△PQM為等腰直角三角形 ?若不存在,請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由;若存在,請(qǐng)求出PQ的長(zhǎng).
18.已知關(guān)于 的方程 (q≥0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 , 且 ≤ .
(1)試用含有 , 的代數(shù)式表示 和 ;
(2)求證: ≤1≤
(3)若以 , 為坐標(biāo)的點(diǎn)M( , )在△ABC的三條邊上運(yùn)動(dòng),且△ABC頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,2),B( ,1),C(1,1),問(wèn)是否存在點(diǎn)M使 + = ,若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(天津市中考題)
19.某蔬菜基地種植西紅柿,由歷年市場(chǎng)行情得知,從2月1日起的300天內(nèi),西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖甲的一條折線表示;西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖乙表示的拋物線段表示.
(1)寫(xiě)出圖甲表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系 ;寫(xiě)出圖乙表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式 .
(2)認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去 種植成本為純收益,問(wèn)何時(shí)上市的西紅柿純收益最大?(注:市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位:元/102?,時(shí)間單位:天)
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