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高中數(shù)學《等差數(shù)列前n項和的公式》說課稿
以下是高中數(shù)學《等差數(shù)列前n項和的公式》說課稿,僅供參考,
高中數(shù)學《等差數(shù)列前n項和的公式》說課稿
。教學目標
A、知識目標:
掌握等差數(shù)列前n項和公式的推導方法;掌握公式的運用。
B、能力目標:
(1)通過公式的探索、發(fā)現(xiàn),在知識發(fā)生、發(fā)展以及形成過程中培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。
(2)利用以退求進的思維策略,遵循從特殊到一般的認知規(guī)律,讓學生在實踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法導出等差數(shù)列的求和公式,培養(yǎng)學生類比思維能力。
(3)通過對公式從不同角度、不同側(cè)面的剖析,培養(yǎng)學生思維的靈活性,提高學生分析問題和解決問題的能力。
C、情感目標:(數(shù)學文化價值)
(1)公式的發(fā)現(xiàn)反映了普遍性寓于特殊性之中,從而使學生受到辯證唯物主義思想的熏陶。
(2)通過公式的運用,樹立學生"大眾教學"的思想意識。
(3)通過生動具體的現(xiàn)實問題,令人著迷的數(shù)學史,激發(fā)學生探究的興趣和欲望,樹立學生求真的勇氣和自信心,增強學生學好數(shù)學的心理體驗,產(chǎn)生熱愛數(shù)學的情感。
教學重點:等差數(shù)列前n項和的公式。
教學難點:等差數(shù)列前n項和的公式的靈活運用。
教學方法:啟發(fā)、討論、引導式。
教具:現(xiàn)代教育多媒體技術(shù)。
教學過程
一、創(chuàng)設(shè)情景,導入新課。
師:上幾節(jié),我們已經(jīng)掌握了等差數(shù)列的概念、通項公式及其有關(guān)性質(zhì),今天要進一步研究等差數(shù)列的前n項和公式。提起數(shù)列求和,我們自然會想到德國偉大的數(shù)學家高斯"神速求和"的故事,小高斯上小學四年級時,一次教師布置了一道數(shù)學習題:"把從1到100的自然數(shù)加起來,和是多少?"年僅10歲的小高斯略一思索就得到答案5050,這使教師非常吃驚,那么高斯是采用了什么方法來巧妙地計算出來的呢?如果大家也懂得那樣巧妙計算,那你們就是二十世紀末的新高斯。(教師觀察學生的表情反映,然后將此問題縮小十倍)。我們來看這樣一道一例題。
例1,計算:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.
這道題除了累加計算以外,還有沒有其他有趣的解法呢?小組討論后,讓學生自行發(fā)言解答。
生1:因為1+10=2+9=3+8=4+7=5+6,所以可湊成5個11,得到55。
生2:可設(shè)S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10,根據(jù)加法交換律,又可寫成 S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。
上面兩式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110
10個
所以我們得到S=55,
即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
師:高斯神速計算出1到100所有自然數(shù)的各的方法,和上述兩位同學的方法相類似。
理由是:1+100=2+99=3+98=......=50+51=101,有50個101,所以1+2+3+......+100=50×101=5050。請同學們想一下,上面的方法用到等差數(shù)列的哪一個性質(zhì)呢?
生3:數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.
二、教授新課(嘗試推導)
師:如果已知等差數(shù)列的首項a1,項數(shù)為n,第n項an,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),如何來導出它的前n項和Sn計算公式呢?根據(jù)上面的例子同學們自己完成推導,并請一位學生板演。
生4:Sn=a1+a2+......an-1+an也可寫成
Sn=an+an-1+......a2+a1
兩式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)
n個
=n(a1+an)
所以Sn=
#FormatImgID_0#(I)
師:好!如果已知等差數(shù)列的首項為a1,公差為d,項數(shù)為n,則an=a1+(n-1)d代入公式(1)得
Sn=na1+
#FormatImgID_1#d(II) 上面(I)、(II)兩個式子稱為等差數(shù)列的前n項和公式。公式(I)是基本的,我們可以發(fā)現(xiàn),它可與梯形面積公式(上底+下底)×高÷2相類比,這里的上底是等差數(shù)列的首項a1,下底是第n項an,高是項數(shù)n。引導學生總結(jié):這些公式中出現(xiàn)了幾個量?(a1,d,n,an,Sn),它們由哪幾個關(guān)系聯(lián)系?[an=a1+(n-1)d,Sn=
#FormatImgID_2#=na1+
#FormatImgID_3#d];這些量中有幾個可自由變化?(三個)從而了解到:只要知道其中任意三個就可以求另外兩個了。下面我們舉例說明公式(I)和(II)的一些應用,
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《高中數(shù)學《等差數(shù)列前n項和的公式》說課稿》(http://m.msguai.com)。三、公式的應用(通過實例演練,形成技能)。
1、直接代公式(讓學生迅速熟悉公式,即用基本量觀點認識公式)例2、計算:
(1)1+2+3+......+n
(2)1+3+5+......+(2n-1)
(3)2+4+6+......+2n
(4)1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n
請同學們先完成(1)-(3),并請一位同學回答。
生5:直接利用等差數(shù)列求和公式(I),得
(1)1+2+3+......+n=
#FormatImgID_4#(2)1+3+5+......+(2n-1)=
#FormatImgID_5#(3)2+4+6+......+2n=
#FormatImgID_6#=n(n+1)
師:第(4)小題數(shù)列共有幾項?是否為等差數(shù)列?能否直接運用Sn公式求解?若不能,那應如何解答?小組討論后,讓學生發(fā)言解答。
生6:(4)中的數(shù)列共有2n項,不是等差數(shù)列,但把正項和負項分開,可看成兩個等差數(shù)列,所以
原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)
=n2-n(n+1)=-n
生7:上題雖然不是等差數(shù)列,但有一個規(guī)律,兩項結(jié)合都為-1,故可得另一解法:
原式=-1-1-......-1=-n
n個
師:很好!在解題時我們應仔細觀察,尋找規(guī)律,往往會尋找到好的方法。注意在運用Sn公式時,要看清等差數(shù)列的項數(shù),否則會引起錯解。
例3、(1)數(shù)列{an}是公差d=-2的等差數(shù)列,如果a1+a2+a3=12,a8+a9+a10=75,求a1,d,S10。
生8:(1)由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12,即a1+d=4
又∵d=-2,∴a1=6
∴S12=12 a1+66×(-2)=-60
生9:(2)由a1+a2+a3=12,a1+d=4
a8+a9+a10=75,a1+8d=25
解得a1=1,d=3 ∴S10=10a1+
#FormatImgID_7#=145
師:通過上面例題我們掌握了等差數(shù)列前n項和的公式。在Sn公式有5個變量。已知三個變量,可利用構(gòu)造方程或方程組求另外兩個變量(知三求二),請同學們根據(jù)例3自己編題,作為本節(jié)的課外練習題,以便下節(jié)課交流。
師:(繼續(xù)引導學生,將第(2)小題改編)
①數(shù)列{an}等差數(shù)列,若a1+a2+a3=12,a8+a9+a10=75,且Sn=145,求a1,d,n
②若此題不求a1,d而只求S10時,是否一定非來求得a1,d不可呢?引導學生運用等差數(shù)列性質(zhì),用整體思想考慮求a1+a10的值。
2、用整體觀點認識Sn公式。
例4,在等差數(shù)列{an}, (1)已知a2+a5+a12+a15=36,求S16;(2)已知a6=20,求S11。(教師啟發(fā)學生解)
師:來看第(1)小題,寫出的計算公式S16=
#FormatImgID_8#=8(a1+a6)與已知相比較,你發(fā)現(xiàn)了什么?
生10:根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18,所以S16=8×18=144。
師:對!(簡單小結(jié))這個題目根據(jù)已知等式是不能直接求出a1,a16和d的,但由等差數(shù)列的性質(zhì)可求a1與an的和,于是這個問題就得到解決。這是整體思想在解數(shù)學問題的體現(xiàn)。
師:由于時間關(guān)系,我們對等差數(shù)列前n項和公式Sn的運用一一剖析,引導學生觀察當d≠0時,Sn是n的二次函數(shù),那么從二次(或一次)的函數(shù)的觀點如何來認識Sn公式后,這留給同學們課外繼續(xù)思考。
最后請大家課外思考Sn公式(1)的逆命題:
已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若對于所有自然數(shù)n,都有Sn=
#FormatImgID_9#。數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列,并說明理由。
四、小結(jié)與作業(yè)。
師:接下來請同學們一起來小結(jié)本節(jié)課所講的內(nèi)容。
生11:1、用倒序相加法推導等差數(shù)列前n項和公式。
2、用所推導的兩個公式解決有關(guān)例題,熟悉對Sn公式的運用。
生12:1、運用Sn公式要注意此等差數(shù)列的項數(shù)n的值。
2、具體用Sn公式時,要根據(jù)已知靈活選擇公式(I)或(II),掌握知三求二的解題通法。
3、當已知條件不足以求此項a1和公差d時,要認真觀察,靈活應用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì),看能否用整體思想的方法求a1+an的值。
師:通過以上幾例,說明在解題中靈活應用所學性質(zhì),要糾正那種不明理由盲目套用公式的學習方法。同時希望大家在學習中做一個有心人,去發(fā)現(xiàn)更多的性質(zhì),主動積極地去學習。
本節(jié)所滲透的數(shù)學方法;觀察、嘗試、分析、歸納、類比、特定系數(shù)等。
數(shù)學思想:類比思想、整體思想、方程思想、函數(shù)思想等。
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