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宜昌市中考數(shù)學(xué)試題解析(3)
解答： (1)證明：∵DO⊥AB，
∴∠DOB=∠DOA=90°，
∴∠DOB=∠ACB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△DOB∽△ACB;
(2)解：∵∠ACB=90°，
∴AB= = =10，
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DO⊥AB，
∴DC=DO，
在Rt△ACD和Rt△AOD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AOD(HL)，
∴AC=AO=6，
設(shè)BD=x，則DC=DO=8﹣x，OB=AB﹣AO=4，
在Rt△BOD中，根據(jù)勾 股定理得：DO2+OB2=BD2，
即(8﹣x)2+42=x2，
解得：x=5，
∴BD的長(zhǎng)為5;
(3)解：∵點(diǎn)B′與點(diǎn)B關(guān)于直線DO對(duì)稱，
∴∠B=∠OB′D，BO=B′O，BD=B′D，
∵∠B為銳角，
∴∠OB′D也為銳角，
∴∠AB′D為鈍角，
∴當(dāng)△AB′D為等腰三角形時(shí)，AB′=DB′，
∵△DOB∽△ACB，
∴ = = ，
設(shè)BD=5x，
則AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，
∵AB′+B′O+BO=AB，
∴5x+4x+4x=10，
解得：x= ，
∴BD= .
點(diǎn)評(píng)： 本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識(shí);本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是(2)(3)中，需要根據(jù)題意列出方程，解方程才能得出結(jié)果.
21.(8分)(2015宜昌)如圖，已知點(diǎn)A(4，0)，B(0，4 )，把一個(gè)直角三角尺DEF放在△OAB內(nèi)，使其斜邊FD在線段AB上，三角尺可沿著線段AB上下滑動(dòng).其中∠EFD=30°，ED=2，點(diǎn)G為邊FD的中點(diǎn).
(1)求直線AB的解析式;
(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)G的反比例函數(shù)y= (k≠0)的解析式;
(3)在三角尺滑動(dòng)的過(guò)程中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)G的反比例函數(shù)的圖象能否同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F?如果能，求出此時(shí)反比例函數(shù)的解析式;如果不能，說(shuō)明理由.
考點(diǎn)： 反比例函數(shù)綜合題..
分析： (1)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入，組成方程組，解方程組求出k、b的值即可;
(2)由Rt△DEF中，求出EF、DF，在求出點(diǎn)D坐標(biāo)，得出點(diǎn)F、G坐標(biāo)，把點(diǎn)G坐標(biāo)代入反比例函數(shù)求出k即可;
(3)設(shè)F(t，﹣ t+4 )，得出D、G坐標(biāo)，設(shè)過(guò)點(diǎn)G和F的反比例函數(shù)解析式為y= ，用待定系數(shù)法求出t、m，即可得出反比例函數(shù)解析式.
解答： 解：(1)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
∵A(4，0)，B(0，4 )，
∴ ，
解得： ，
∴直線AB的解析式為：y=﹣ x+4 ;
(2)∵在Rt△DEF中，∠EFD=30°，ED=2，
∴EF=2 ，DF=4，
∵點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，
∴D(4，0)，
∴F(2，2 )，
∴G(3， )，
∵反比例函數(shù)y= 經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，
∴k=3 ，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y= ;
(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)G的反比例函數(shù)的圖象能同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F;理由如下：
∵點(diǎn)F在直線AB上，
∴設(shè)F(t，﹣ t+4 )，
又∵ED=2，
∴D(t+2，﹣ t+2 )，
∵點(diǎn)G為邊FD的中點(diǎn).
∴G(t+1，﹣ t+3 )，
若過(guò)點(diǎn)G的反比例函數(shù)的圖象也經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，
設(shè)解析式為y= ，
則 ，
整理得：(﹣ t+3 )(t+1)=(﹣ t+4 )t，
解得：t= ，
∴m= ，
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)G的反比例函數(shù)的圖象能同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，這個(gè)反比例函數(shù)解析式為：y= .
點(diǎn)評(píng)： 本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、求反比例函數(shù)的解析式、坐標(biāo)與圖形特征、解直角三角形、解方程組等知識(shí);本題難度較大，綜合性強(qiáng)，用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
22.(10分)(2015宜昌)全民健身和醫(yī)療保健是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，2014年，某社區(qū)共投入30萬(wàn)元用于購(gòu)買健身器材和藥品.
(1)若2014年社區(qū)購(gòu)買健身器材的費(fèi)用不超過(guò)總投入的 ，問(wèn)2014年最低投入多少萬(wàn)元購(gòu)買藥品?
(2)2015年，該社區(qū)購(gòu)買健身器材的費(fèi)用比上一年增加50%，購(gòu)買藥品的費(fèi)用比上一年減少 ，但社區(qū)在這兩方面的總投入仍與2014年相同.
�、偾�2014年社區(qū)購(gòu)買藥品的總費(fèi)用;
�、趽�(jù)統(tǒng)計(jì)，2014年該社區(qū)積極健身的家庭達(dá)到200戶，社區(qū)用于這些家庭的藥品費(fèi)用明顯減少，只占當(dāng)年購(gòu)買藥品總費(fèi)用的 ，與2014年相比，如果2015年社區(qū)內(nèi)健身家庭戶數(shù)增加的百分比與平均每戶健身家庭的藥品費(fèi)用降低的百分比相同，那么，2015年該社區(qū)用于健身家庭的藥品費(fèi)用就是當(dāng)年購(gòu)買健身器材費(fèi)用的 ，求2015年該社區(qū)健身家庭的戶數(shù).
考點(diǎn)： 一元二次方程的應(yīng)用;二元一次方程組的應(yīng)用;一元一次不等式的應(yīng)用..
專題： 應(yīng)用題.
分析： (1)設(shè)2014年購(gòu)買藥品的費(fèi)用為x萬(wàn)元，根據(jù)購(gòu)買健身器材的費(fèi)用不超過(guò)總投入的 ，列出不等式，求出不等式的解集即可得到結(jié)果;
(2)①設(shè)2014年社區(qū)購(gòu)買藥品的費(fèi)用為y萬(wàn)元，則購(gòu)買健身器材的費(fèi)用為(30﹣y)萬(wàn)元，2015年購(gòu)買健身器材的費(fèi)用為(1+50%)(30﹣y)萬(wàn)元，購(gòu)買藥品的費(fèi)用為(1﹣ )y萬(wàn)元，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解得到y(tǒng)的值，即可得到結(jié)果;
②設(shè)這個(gè)相同的百分?jǐn)?shù)為m，則2015年健身家庭的藥品費(fèi)用為200(1+m)，根據(jù)2015年該社區(qū)用于健身家庭的藥品費(fèi)用就是當(dāng)年購(gòu)買健身器材費(fèi)用的 ，列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果.
解答： 解：(1)設(shè)2014年購(gòu)買藥品的費(fèi)用為x萬(wàn)元，
根據(jù)題意得：30﹣x≤ ×30，
解得：x≥10，
則2014年最低投入10萬(wàn)元購(gòu)買商品;
(2)①設(shè)2014年社區(qū)購(gòu)買藥品的費(fèi)用為y萬(wàn)元，則購(gòu)買健身器材的費(fèi)用為(30﹣y)萬(wàn)元，
2015年購(gòu)買健身器材的費(fèi)用為(1+50%)(30﹣y)萬(wàn)元，購(gòu)買藥品的費(fèi)用為(1﹣ )y萬(wàn)元，
根據(jù)題意得：(1+50%)(30﹣y)+(1﹣ )y=30，
解得：y=16，30﹣y=14，
則2014年購(gòu)買藥品的總費(fèi)用為16萬(wàn)元;
�、谠O(shè)這個(gè)相同的百分?jǐn)?shù)為m，則2015年健身家庭的藥品費(fèi)用為200(1+m)，
2015年平均每戶健身家庭的藥品費(fèi)用為 (1﹣m)萬(wàn)元，
依題意得：200(1+m) (1﹣m )=(1+50%)×14× ，
解得：m=± ，
∵m>0，∴m= =50%，
∴200(1+m)=300(戶)，
則2015年該社區(qū)健身家庭的戶數(shù)為300戶.
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，以及一元一次不等式的應(yīng)用，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
23.(11分)(2015宜昌)如圖，四邊形ABCD為菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)是邊BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接EF，以EF為直徑作⊙O，交DC于D，G兩點(diǎn)，AD分別于EF，GF交于I，H兩點(diǎn).
(1)求∠FDE的度數(shù);
(2)試判斷四邊形FACD的形狀，并證明你的結(jié)論;
(3)當(dāng)G為線段DC的中點(diǎn)時(shí)，
�、偾笞C：FD=FI;
�、谠O(shè)AC=2m，BD=2n，求⊙O的面積與菱形ABCD的面積之比 .
考點(diǎn)： 圓的綜合題;等腰三角形的判定;直角三角形斜邊上的中線;勾股定理;三角形中位線定理;平行四邊形的判定與性質(zhì);菱形的性質(zhì)..
專題： 綜合題.
分析： (1)根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角即可得到∠FDE=90°;
(2)由四邊形ABCD是菱形可得AB∥CD，要證四邊形FACD是平行四邊形，只需證明DF∥AC，只需證明∠AEB=∠FDE，由于∠FDE=90°，只需證明∠AEB=90°，根據(jù)四邊形ABCD是菱形即可得到結(jié)論;
(3)①連接GE，如圖，易證GE是△ACD的中位線，即可得到GE∥DA，即可得到∠FHI=∠FGE=∠FGE=90°.根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DG=GE，從而有 = ，根據(jù)圓周角定理可得∠1=∠2，根據(jù)等角的余角相等可得∠3=∠4，根據(jù)等角對(duì)等邊可得FD=DI;②易知S⊙O=π( )2= πm2，S菱形ABCD= 2m2n=2mn，要求⊙O的面積與菱形ABCD的面積之比，只需得到m與n的關(guān)系，易證EI=EA=m，DF=AC=2m，EF=FI+IE=DF+AE=3m，在Rt△DEF中運(yùn)用勾股定理即可解決問(wèn)題.
解答： 解：(1)∵EF是⊙O的直徑，∴∠FDE=90°;
(2)四邊形FACD是平行四邊形.
理由如下：
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