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宜昌市中考數(shù)學(xué)試題解析(4)
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠AEB=90°.
又∵∠FDE=90°，
∴∠AEB=∠FDE，
∴AC∥DF，
∴四邊形FACD是平行四邊形;
(3)①連接GE，如圖.
∵四邊形ABCD是菱形，∴點(diǎn)E為AC中點(diǎn).
∵G為線(xiàn)段DC的中點(diǎn)，∴GE∥DA，
∴∠FHI=∠FGE.
∵EF是⊙O的直徑，∴∠FGE=90°，
∴∠FHI=90°.
∵∠DEC=∠AEB=90°，G為線(xiàn)段DC的中點(diǎn)，
∴DG= GE，
∴ = ，
∴∠1=∠2.
∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
∴FD=FI;
�、凇逜C∥DF，∴∠3=∠6.
∵∠4=∠5，∠3=∠4，
∴∠5=∠6，∴EI=EA.
∵四邊形ABCD是菱形，四邊形FACD是平行四邊形，
∴DE= BD=n，AE= AC=m，F(xiàn)D=AC=2m，
∴EF=FI+IE=FD+AE=3m.
在Rt△EDF中，根據(jù)勾股定理可得：
n2+(2m)2=(3m)2，
即n= m，
∴S⊙O=π( )2= πm2，S菱形ABCD= 2m2n=2mn=2 m2，
∴S⊙O：S菱形ABCD= .
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了菱形的性質(zhì)、圓周角定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半、三角形中位線(xiàn)定理、等角的余角相等、等角 對(duì)等邊、平行線(xiàn)的性質(zhì)、勾股定理、圓及菱形的面積公式等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，證到IE=EA，進(jìn)而得到EF=3m是解決第3(2)小題的關(guān)鍵.
24.(12分)(2015宜昌)如圖1，B(2m，0)，C(3m，0)是平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)，其中m為常數(shù)，且m>0，E(0，n)為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，以BC為邊在x軸上方作矩形ABCD，使AB=2BC，畫(huà)射線(xiàn)OA，把△ADC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A′D′C′，連接ED′，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+n(a≠0)過(guò)E，A′兩點(diǎn).
(1)填空：∠AOB= 45 °，用m表示點(diǎn)A′的坐標(biāo)：A′( m ， ﹣m );
(2)當(dāng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為A′，拋物線(xiàn)與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)P，且 = 時(shí)，△D′OE與△ABC是否相似?說(shuō)明理由;
(3)若E與原點(diǎn)O重合，拋物線(xiàn)與射線(xiàn)OA的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)M，過(guò)M作MN⊥y軸，垂足為N：
�、偾骯，b，m滿(mǎn)足的關(guān)系式;
�、诋�(dāng)m為定值，拋物線(xiàn)與四邊形ABCD有公共點(diǎn)，線(xiàn)段MN的最大值為10，請(qǐng)你探究a的取值范圍.
考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題..
專(zhuān)題： 綜合題.
分析： (1)由B與C的坐標(biāo)求出OB與OC的長(zhǎng)，根據(jù)OC﹣OB表示出BC的長(zhǎng)，由題意AB=2BC，表示出AB，得到AB=OB，即三角形AOB為等腰直角三角形，即可求出所求角的度數(shù);由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：OD′=D′A′=m，即可確定出A′坐標(biāo);
(2)△D′OE∽△ABC，理由如下：根據(jù)題意表示出A與B的坐標(biāo)，由 = ，表示出P坐標(biāo)，由拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為A′，表示出拋物線(xiàn)解析式，把點(diǎn)E坐標(biāo)代入整理得到m與n的關(guān)系式，利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的三角形相似即可得證;
(3)①當(dāng)E與原點(diǎn)重合時(shí)，把A與E坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c，整理即可得到a，b，m的關(guān)系式;
②拋物線(xiàn)與四邊形ABCD有公共點(diǎn)，可得出拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C時(shí)的開(kāi)口最大，過(guò)點(diǎn)A時(shí)的開(kāi)口最小，分兩種情況考慮：若拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C(3m，0)，此時(shí)MN的最大值為10，求出此時(shí)a的值;若拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(2m，2m)，求出此時(shí)a的值，即可確定出拋物線(xiàn)與四邊形ABCD有公共點(diǎn)時(shí)a的范圍.
解答： 解：(1)∵B(2m，0)，C(3m，0)，
∴OB=2m，OC=3m，即BC=m，
∵AB=2BC，
∴AB=2m=0B，
∵∠ABO=90°，
∴△ABO為等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：OD′=D′A′=m，即A′(m，﹣m);
故答案為：45;m，﹣m;
(2)△D′OE∽△ABC，理由如下：
由已知得：A(2m，2m)，B(2m，0)，
∵ = ，
∴P(2m， m)，
∵A′為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a(x﹣m)2﹣m，
∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)E(0，n)，
∴n=a(0﹣m)2﹣m，即m=2n，
∴OE：OD′=BC：AB=1：2，
∵∠EOD′=∠ABC=90°，
∴△D′OE∽△ABC;
(3)①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí)，E(0，0)，
∵拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)E，A，
∴ ，
整理得：am+b=﹣1，即b=﹣1﹣am;
�、凇邟佄锞�(xiàn)與四邊形ABCD有公共點(diǎn)，
∴拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C時(shí)的開(kāi)口最大，過(guò)點(diǎn)A時(shí)的開(kāi)口最小，
若拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C(3m，0)，此時(shí)MN的最大值為10，
∴a(3m)2﹣(1+am)3m=0，
整理得：am= ，即拋物線(xiàn)解析式為y= x2﹣ x，
由A(2m，2m)，可得直線(xiàn)OA解析式為y=x，
聯(lián)立拋物線(xiàn)與直線(xiàn)OA解析式得： ，
解得：x=5m，y=5m，即M(5m，5m)，
令5m=10，即m=2，
當(dāng)m=2時(shí)，a= ;
若拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(2m，2m)，則a(2m)2﹣(1+am)2m=2m，
解得：am=2，
∵m=2，
∴a=1，
則拋物線(xiàn)與四邊形ABCD有公共點(diǎn)時(shí)a的范圍為 ≤a≤1.
點(diǎn)評(píng)： 此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
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