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考研數(shù)學(xué) 方程跟的個數(shù)問題(一)

時間:2023-04-29 22:23:16 考研數(shù)學(xué) 我要投稿
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2015考研數(shù)學(xué) 方程跟的個數(shù)問題(一)

縱觀考研數(shù)學(xué)多年來的考試大綱和考試真題試卷,總體上講變化不大。每年的考試范圍和知識點(diǎn)基本相同或相近,考試題型的變化幅度也不是很大,其中有一些重要題型是年年考或經(jīng)?,如果考生能完全掌握這些重要題型的解題思路和方法,并能熟練地解答這些題型,則對于順利地通過考研數(shù)學(xué)考試將有極大幫助。為了幫助各位考生學(xué)會并提高解答數(shù)學(xué)重要題型的水平,考研輔導(dǎo)老師針對歷年考研數(shù)學(xué)中的重要題型進(jìn)行深入解剖,分析提煉出各種常考重要題型及方法,供考生們參考。下面主要分析高等數(shù)學(xué)中關(guān)于方程根的個數(shù)問題這類重要題型及解題方法。

2015考研數(shù)學(xué) 方程跟的個數(shù)問題(一)

題型:方程根的個數(shù)問題(一)

方程 =0的根,也就是函數(shù) 的零點(diǎn),有關(guān)方程根的問題一般可以利用函數(shù)的有關(guān)理論加以分析和解決。

主要的分析解決工具包括:

1)函數(shù)零點(diǎn)定理:若函數(shù) 在 上連續(xù),且 ,則至少存在一點(diǎn) ,使 ( 稱為函數(shù)的零點(diǎn))。

2)函數(shù)單調(diào)性:若函數(shù) 在 上連續(xù)且單調(diào)(單調(diào)增加或單調(diào)減少),則:1)當(dāng) 時, 在 上有唯一零點(diǎn);2)當(dāng) 時, 在 上沒有零點(diǎn)。

3)羅爾中值定理:若函數(shù) 在 上連續(xù),在 上可導(dǎo),且 ,則至少存在一點(diǎn) ,使 。

一般求解步驟:

1)先看有無明顯的實(shí)根;

2)引入相應(yīng)函數(shù),寫出定義域,判斷端點(diǎn)函數(shù)值和特殊點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù);

3)求導(dǎo)數(shù),找出駐點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間,討論在各單調(diào)區(qū)間上的實(shí)根個數(shù)。

典型例題

例1.求方程 不同實(shí)根的個數(shù),其中k為參數(shù) (2011年考研數(shù)學(xué)一第17題)

解析:顯然 =0是一個實(shí)根。令 ,則 , , , ;若 , 單調(diào)減少, 只有唯一零點(diǎn),即原方程只有唯一實(shí)根x=0;

1)若 , 在 上都是單調(diào)減少,且 ,故 只有唯一零點(diǎn),原方程只有唯一實(shí)根x=0;

2)若 ,當(dāng) 時, , 單調(diào)增加,而 ,所以 ;當(dāng) 時, , 單調(diào)減少;由此得: 在區(qū)間 上各有一個零點(diǎn),即原方程在這3個區(qū)間上各有一個實(shí)根。

綜上得:當(dāng) 時,方程只有一個實(shí)根;當(dāng) 時,方程有3個不同實(shí)根。

例2.設(shè)有方程 ,其中 為正整數(shù),證明此方程存在唯一正實(shí)根 ,并證明當(dāng) 時,級數(shù) 收斂 (2004年考研數(shù)學(xué)一第18題)

解析:設(shè) ,則 ,由零點(diǎn)定理知 在(0,1)上至少有一個零點(diǎn)。而 ,故 在(0,+∞)上單調(diào)增加,因此, 在(0,+∞)上只存在唯一一個零點(diǎn) ,且0< <1,由 ,得 ,當(dāng) 時,級數(shù) 收斂,由正項(xiàng)級數(shù)的比較審斂法知, 收斂。

注:n次方程有n個根,因此方程 的負(fù)實(shí)根可能有很多個(可能還有復(fù)數(shù)根)。

上面就是考研數(shù)學(xué)之高等數(shù)學(xué)中的方程根的個數(shù)問題這類重要題型及解題方法,供考生們參考借鑒。在以后的時間里,老師們還會陸續(xù)向考生們介紹其它?贾匾}型及解題方法,希望各位考生留意查看。最后預(yù)祝各位考生在2015考研中取得佳績。

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