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中學(xué)數(shù)學(xué)教案設(shè)計(jì)
一元n次方程根與系數(shù)的關(guān)系教案設(shè)計(jì)
【教學(xué)目的】通過教學(xué)讓學(xué)生明確一元n次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是一
元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的推廣，通過證明讓學(xué)生理解韋達(dá)定理的實(shí)質(zhì)，
并會(huì)正確應(yīng)用定理來解題。
【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)是根與系數(shù)的關(guān)系，難點(diǎn)是根與系數(shù)關(guān)系的
證明。
【教學(xué)過程】
一、復(fù)習(xí)提問
1.定理1及定理2的內(nèi)容及作用。
定理1一元n次方程f(x)=0有一個(gè)根x=b的充要條件是多項(xiàng)式f(x)
有一個(gè)一次因式(x-b)。
定理2復(fù)系數(shù)一元n次方程f(x)=0在復(fù)數(shù)集中有且僅有n個(gè)根。
定理1指出尋求方程根的方法，而定理2只解決根的存在性及根的個(gè)數(shù)。
2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數(shù)之間有什么關(guān)系?如何
證明?
設(shè)二根為x1和x2，則根與系數(shù)間關(guān)系為：
x+x=-
b a
x x=
c a
1 2
1 2·稱韋達(dá)定理。`
ì
í
證明：若x1和x2是ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根，則根據(jù)定理1得到
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。∵a≠0
∴x+()，對比系數(shù)得到：
b a
x+
c a
=x-x x+x x+x xx+x=-
b 2a 2
1 21 21 2
x x=
c a
n 12·，同理對一元次方程的根與系數(shù)之間仍存在這個(gè)關(guān)系。
二、引入新課
三、小結(jié)
韋達(dá)定理中諸關(guān)系式是n個(gè)n元方程，仍無法解出各根，故與解一元n
次方程是等價(jià)問題，只有給出了各根之間滿足的某些條件時(shí)，應(yīng)用根與系數(shù)
的關(guān)系，才能求出方程的解集，在應(yīng)用時(shí)注意符號(hào)的規(guī)律。這個(gè)定理的逆命
題也成立，即對于任何一元n次方程f(x)=anxn+an-1xn-1+?+a1x+a0=0如果
有n個(gè)數(shù)x1，x2，?，xn滿足諸關(guān)系式，那么x1，x2，?，xn一定是方程f
(x)=0的根。
四、作業(yè)
(王秋芳)
韋達(dá)定理的應(yīng)用教案設(shè)計(jì)
【教學(xué)目的】讓學(xué)生進(jìn)一步理解韋達(dá)定理的實(shí)質(zhì)是反映出由n個(gè)根與系
數(shù)構(gòu)成了n個(gè)n元方程組，與解一元n次方程是完全等價(jià)的問題。因而只利
用根與系數(shù)之關(guān)系并不能解決一元n次方程求根的問題。只有當(dāng)給出了各根
之間滿足的某些條件時(shí)才能應(yīng)用韋選定理求方程的解集。
【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)是韋達(dá)定理的應(yīng)用，難點(diǎn)是靈活應(yīng)用韋達(dá)定
理解綜合性題。
【教學(xué)過程】
一、復(fù)習(xí)提問
1.韋達(dá)定理及其作用。
2.已知方程x3+p1x2+p2x+p3=0，的根為α、β、γ，則由韋達(dá)定理，得
αβγ()
αβαγβγ()
αβγ()
++=-p 1
++=p 2
=-p 3
2 3
ì
í
下面解含α、β、γ的方程組，結(jié)果說明什么問題?
解：(1)×α2得α3+α2β+α2γ=-p1α2(4)
(2)×(-α)得-α2β-αβγ-α2γ=-αp2(5)
(3)+(4)+(5)得α3+p1α2+p2α+p3=0這個(gè)結(jié)果與原方程完全相同，
說明如果我們沒有辦法解出原方程時(shí)，同樣從這三個(gè)根與系數(shù)的關(guān)系仍不能
解出它的根來，只有當(dāng)給出各根之間具有某種特殊關(guān)系時(shí)，應(yīng)用根與系數(shù)之
關(guān)系才能求出方程的根。
二、引入新課--韋達(dá)定理的應(yīng)用
三、小結(jié)
1.已知方程的根與系數(shù)具有某種關(guān)系時(shí)應(yīng)用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為解方程組的
問題求解，當(dāng)未知數(shù)的個(gè)數(shù)少于方程組中方程個(gè)數(shù)時(shí)，要適當(dāng)選擇方程組求
解，之后必須通過檢驗(yàn)該解滿足余下的方程才是原方程的解。
2.應(yīng)用韋達(dá)定理確定方程中的參數(shù)。
四、作業(yè)(略)
(王秋芳)
實(shí)系數(shù)方程虛根成對定理教案設(shè)計(jì)
【教學(xué)目的】掌握實(shí)系數(shù)方程虛根成對定理并會(huì)運(yùn)用定理求實(shí)系數(shù)方程
在復(fù)數(shù)集C中的解集。
【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)是定理的正確應(yīng)用：突出強(qiáng)調(diào)定理中的條件
是實(shí)系數(shù)方程；難點(diǎn)是定理的證明過程。
【教學(xué)過程】
一、復(fù)習(xí)提問
二、引入新課
三、小結(jié)
注意定理中的條件"實(shí)系數(shù)方程"必不可少，若為復(fù)系數(shù)方程則沒有"虛
根成對共軛出現(xiàn)"的結(jié)論，應(yīng)用此定理解方程時(shí)要特別注意。
四、作業(yè)
1.復(fù)習(xí)實(shí)系數(shù)方程虛根成對定理。
2.求證實(shí)系數(shù)一元n次方程在n為奇數(shù)時(shí)有奇數(shù)個(gè)實(shí)根；在n為偶數(shù)時(shí)
有偶數(shù)個(gè)實(shí)根，或者沒有實(shí)根。[提示：應(yīng)用實(shí)系數(shù)一元n次方程有且僅有n
個(gè)復(fù)數(shù)根，而且虛根是成對出現(xiàn)，說明虛根只能是偶數(shù)個(gè)(包括0個(gè))，所
以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，由于奇數(shù)與偶數(shù)之差為奇數(shù)，從而有奇數(shù)個(gè)實(shí)根。當(dāng)n為
偶數(shù)時(shí)，由于偶數(shù)與偶數(shù)之差仍為偶數(shù)，從而有偶數(shù)個(gè)實(shí)根(包括沒有實(shí)數(shù)
根)]
3.根據(jù)已知條件求下列方程在復(fù)數(shù)集C中解集。
(王秋芳)
復(fù)習(xí)總結(jié)二項(xiàng)式定理教案設(shè)計(jì)
【教學(xué)目的】
1.小結(jié)二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及它們的應(yīng)用。
2.指導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)的基本概念和基本公式進(jìn)行總結(jié)和深化。
3.指導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)的基本題型進(jìn)行總結(jié)，提高解題能力。
【教學(xué)重點(diǎn)】有關(guān)重點(diǎn)概念和應(yīng)用。
【教學(xué)過程】
一、復(fù)習(xí)總結(jié)有關(guān)概念
(可采取提問的方式)
(1)什么叫二項(xiàng)式定理，定理的實(shí)際含義是什么，公式的條件是什么。
(2)二項(xiàng)式的展開式的規(guī)律是什么?
(3)兩個(gè)重要常見的二項(xiàng)式的展開式是什么?
(4)下列二項(xiàng)式的展開式相同嗎?它們的通項(xiàng)相同嗎?
二、有關(guān)二項(xiàng)式定理的題型總結(jié)
(可采取提問)
(1)二項(xiàng)式定理的應(yīng)用：
答：結(jié)合本節(jié)習(xí)題和補(bǔ)充題：可總結(jié)為它能解決下類題型：
①求展開式，
②近似計(jì)算，
③證明有關(guān)的整除問題，
④證明恒等式，
⑤證明有關(guān)的不等式。
(2)通項(xiàng)公式的應(yīng)用：
答：它能解決下類題型：
①求展開式的某項(xiàng)，
②求含xr的項(xiàng)(當(dāng)r=0時(shí)為常數(shù)項(xiàng))，
③根據(jù)某種條件先求n或r；再求符合條件的某種項(xiàng)。
(3)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用：
答：它能解決下類題型：
①有關(guān)中間項(xiàng)，及二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的問題，
②有關(guān)組合等式的證明。
復(fù)習(xí)結(jié)束后，布置下面一組題作為本節(jié)的檢查題：
(王錫澤)
平行直線教案設(shè)計(jì)
【教學(xué)目的】
1.使學(xué)生掌握空間兩條直線平行的判定及其應(yīng)用。
2.使學(xué)生掌握平行線的性質(zhì)及應(yīng)用。
【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)是空間二直線平行的判定和性質(zhì)。
難點(diǎn)是二直線平行的判定和性質(zhì)的應(yīng)用。
【教學(xué)過程】
一、新課引入
通過上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道：在圖1-26所示的正方體A1B1C1D1 ABCD中，AB∥C1D1，A1C和BD1相交。
但對這些結(jié)論的正確性沒有給出證明。這節(jié)課就來解決這個(gè)問題。
二、新課
請學(xué)生閱讀課本上的平行線公理"平行于同一直線的兩條直線互相平
行。"的有關(guān)敘述，并思考思考題(Ⅰ)：
1.給出圖1-26中AB∥C1D1和A1C和BD1相交的證明。
2.把一張長方形的紙對折兩次，打開后如圖1-27所示，那么折痕間是
怎樣的位置關(guān)系?為什么?
3.已知：四邊形ABCD是空間四邊形(四個(gè)頂點(diǎn)不共面的四邊形，E、H
分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊CB、CD上的點(diǎn)，且。求證：四邊形
EFGH是梯形。
閱讀思考后，請一位學(xué)生板演
第3題。其他學(xué)生在讀議小組內(nèi)議論思考題(Ⅰ)并對板演作評論。議
論后全班進(jìn)行交流。在這基礎(chǔ)上教師作補(bǔ)充講評：
1.平行線公理描述了平行線之間的傳遞性，即若a∥b，b∥c，則有a∥c。
這種傳遞性不受線段數(shù)目的限制，可以進(jìn)行多次傳遞。
2.判斷兩條直線平行的基本方法是尋找分別與這兩條直線平行的第三條
直線，再利用平行線的傳遞性就能證得這兩直線平行。例如：
又如思考題(Ⅰ)的第2題，由于每個(gè)矩形對邊是平行的，所以由平行
線的傳遞性可得知各折痕是平行。
3.畫空間四邊形時(shí)，一般可先畫一個(gè)三角形BCD，再在△BCD外取一點(diǎn)A，
然后連接AB、AD即得，如圖1-28所示。事實(shí)上，空間四邊形也可看成是由
不在同一平面的兩個(gè)三角形拼成的。
思考題(Ⅰ)的第3題的圖可畫成圖1-28，在△ABD中由中位線定理得
EH∥BD；又在△CBD中，由平行線截比例線段定理的逆定理得FG∥BD。再由
平行線的傳遞性得EH∥FG，所以EFGH是梯形。
下面再來討論平行線的性質(zhì)。讓學(xué)生閱讀課本上等角定理(即如果一個(gè)
角的兩邊和另一角的兩邊分邊平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等)的論
證和推論。
閱讀要求是：
(1)理解定理?xiàng)l件、結(jié)論，學(xué)會(huì)定理證明方法。
(2)會(huì)應(yīng)用該定理。為此，閱讀時(shí)思考思考題(Ⅱ)：
1.已知：AA'、BB'、CC'不共面，且BB'AA'，CC'AA'(如圖129所示)，求證△ABC≌△A'B'C'
2.在長方體A1B1C1D1ABCD中
(圖1-30)，求證∠D1AC=∠BC1A1。
閱讀思考后請兩位學(xué)生上黑板板演，其他學(xué)生在讀議小組中議論思考題
并對板演的論證過程和書寫進(jìn)行評論。教師可根據(jù)學(xué)生的議論和板演進(jìn)行糾
正和補(bǔ)充講解：
1.等角定理?xiàng)l件中所提及的方向是指以角頂為出發(fā)點(diǎn)而言的。
如圖1-31中，AC和A'C'是方向相同的，它們的方向都是以角頂為出
發(fā)點(diǎn)向右方。
而A'C'和AD就是反方向了，因?yàn)锳'C'是由角頂出發(fā)向右，而AD
是由角頂出發(fā)向左。
把等角定理中的條件改成："角的兩邊分別平行并且方向相反"，那么
定理結(jié)論仍成立。
應(yīng)用它能證明思考題(Ⅱ)的第2題：
因?yàn)锳B∥A1B1∥=C1D1，所以，ABC1D1是平行四邊形，故AD1∥BC1。
同理可證得AC∥A1C1。
由等角定理得∠D1AC=∠BC1A1。
如果把等角定理中的條件改為："角的兩邊分別平行并且一組邊方向相
同而另一組邊方向相反"，則結(jié)論將為："兩角相補(bǔ)"。這是由等角定理直
接可推得的(見圖1-31)。
由于上述分析和角的兩邊可反向延長的特點(diǎn)可得到等角定理的推論：如
果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或
直角)相等。
2.等角定理的證明
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