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等勢面,場強的關(guān)系
§13--5 等勢面、場強與電勢的關(guān)系
（Potential Surface 、The Relation Between Electric Field Intensity and Potential）
一、等勢面（電勢分布的圖示法） 電場中電勢相等的點所構(gòu)成的曲面 1. 等勢面的規(guī)定 場中任意相鄰的兩等勢面之 間的電勢差相等。
E E
a
b
U c ? U b = U b ? U a = const Uc > Ub > U a
c
1
以點電荷q的電場為例：
ΔU = ∫ E ? dl = E Δn
P2 P 1
Δn
n
ΔU ∴ E = lim Δn→0 Δn
等勢面密集處，場強數(shù)值 大，電場線也密集。 2. 等勢面的性質(zhì) ●沿等勢面移動電荷時，電場力作功為零。
等勢面
E
Aab = q0U ab = 0
2
●等勢面與電力線處處正交。 證明： dA = q0 dU ≡ 0 而 dA = q0 E ? dl = q0 Edl cosθ
E E
q0
等勢面
a dl b
∴ cosθ = 0 θ =
π
2
即E ⊥ dl
●電場線的方向指向電勢降落，而且是降落得最 快的方向，即由高電位等勢面垂直指向低電位等 勢面。 ●等勢面密集處場強大，等http://m.msguai.com勢面稀疏處場強弱。
3
電場線與等勢面
4
5
二、電場強度與電勢梯度的關(guān)系 1. 電勢梯度
dn dl = cos ? dU dU = cos ? dl dn
電勢梯度
U + dU
n
dn ? P1 dl
P2
U
dU dU
E
P3
dU ? gradU = n dn
E
S1
S2
電勢梯度是一個矢量，其方向與該點電勢增加率最大 的方向相同，大小等于沿該方向上的電勢增加率。
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2. 場強與電勢梯度的關(guān)系 A. E ? dn = ? En dn = (U + dU ) ? U = dU
dU ∴ En = ? dn
結(jié)論
E
( grandU ) l
?
dU E=? n = ? gradU dn
gradU
El U U + dU
dU dU B. ? = ? ( gradU )l = ? cos ? = E cos ? = El dl dn
7
在直角坐標中:
?U Ex = ? ?x ?U Ey = ? ?y
dU El = ? dl
?U Ez = ? ?z
E ?
dl
?U ? ?U ? ? U ? E = ?( i+ j+ k ) = ? gradU ?z ?x ?y
因電勢為標量，所以計算電場中某點的電勢比較方 便，因而由 E = ? gradU 可更方便地求得 E
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討論: ★電勢為零的地方，場強不一定為零。
?U U = 0, 不一定等于零。 ?l
o
q+ + + E (r )
+ R + +
q q
+
+
?q q
+
-
U = 0, E ≠ 0
+ a +
★場強為零的地方，電勢不一定為零。 o
U ≠ 0, E = 0
不是指等 勢面上
★電勢不變的空間場強一定為零。
U = const , E = 0
dU El = ? dl
9
三、場強與電勢關(guān)系的應(yīng)用 例1：已知點電荷的電勢 U =
Y
q 4πε 0 r
2 2
求E
2
r
Z
解： r =
X
x +y +z q
2 2
+
U=
4πε 0 x + y + z
2
?U qx Ex = ? = 2 2 2 3/ 2 ?x 4πε 0 ( x + y + z ) ?U qy Ey = ? = 2 2 2 3/ 2 ?y 4πε 0 ( x + y + z )
10
?U qz Ez = ? = ?z 4πε 0 ( x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2
?U ? ?U ? ?U ? E =? i? j? k ?z ?x ?y
? ? j q ( xi + y? + zk ) = 2 2 2 3/ 2 4πε 0 ( x + y + z )
=
q 4πε 0 r
2
? r
11
例2：均勻帶電圓盤軸線上任一點P的電勢為
σ 2 2 Up = ( R + x ? x) 2ε 0
求場強分布。
?U ? 解： E = ? i ∵ ?x
R
x
?? ? ?σ 2 2 ( R + x ? x) ? i P X =? ? ?x ? 2ε 0
?
σ x ? = (1 ? )i 2 2 2ε 0 R +x
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例3：有一平面電場， = 3 x + 4 y ， U 求場強并大致地畫出電力線與等勢面。 解：E = ? gradU Y
θ
E
?U ? ?U ? j =? i? ?x ?y
j j o
X
? = ?3i ? 4 j (V/m)
?4 θ = arctan = arctan Ex ?3
Ey
= 233.1
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