亚洲免费人人妻人人,cao78在线视频,福建一级毛片,91精品视频免费观看,高清另类图片操逼,日本特黄特色大片免费看,超碰欧美人人澡曰曰澡夜夜泛

矩陣的秩的性質(zhì)以及矩陣運(yùn)算和矩陣的秩的關(guān)系

時(shí)間:2023-04-30 22:29:48 資料 我要投稿
  • 相關(guān)推薦

矩陣的秩的性質(zhì)以及矩陣運(yùn)算和矩陣的秩的關(guān)系

高等代數(shù)第二次大作業(yè)

1120133839

周碧瑩 30011303班

矩陣的秩的性質(zhì)

1.階梯型矩陣J的行秩和列秩相等,它們都等于J的非零行的數(shù)目;并且J的主元所在的列構(gòu)成列向量的一個(gè)極大線性無關(guān)組。 2.矩陣的初等行變換不改變矩陣的行秩。

證明:設(shè)矩陣A的行向量第一文庫網(wǎng)組是a1,…,as.設(shè)A經(jīng)過1型初等行變換變成矩陣B,則B的行向量組是a1,…,ai,kai+aj,…,as.顯然a1,…,ai,kai+aj,…,as可以由a1,…,as線性表處。由于aj=1*(kai+aj)-kai,因此a1,…,as可以由a1,…,ai,kai+aj,…,as線性表處。于是它們等價(jià)。而等價(jià)的向量組由相同的秩,因此A的行秩等于B的行秩。

同理可證2和3型初等行變換使所得矩陣的行向量組與原矩陣的行向量組等價(jià),從而不改變矩陣的行秩。

3.矩陣的初等行變換不改變矩陣的列向量組的線性相關(guān)性。

證明 :一是為什么初等行變換不改變列向量的線性相關(guān)性?二是列向量進(jìn)行初等行變換后,

為什么可以根據(jù)行最簡(jiǎn)形矩陣寫出不屬于極大無關(guān)組的向量用極大無關(guān)組表示的表示式? 第一個(gè)問題:

設(shè)α1,α2,…,αn是n個(gè)m維列向量,則它們的線性相關(guān)性等價(jià)于線性方程組AX=0(其中A=(α1,α2,…,αn),X=(x1,x2,…,xn)T)是否有非零解,即α1,α2,…,αn線性相關(guān)等價(jià)于AX=0有非零解,α1,α2,…,αn線性無關(guān)等價(jià)于AX=0只有零解。而對(duì)A進(jìn)行三種行初等變換分別相當(dāng)于對(duì)線性方程組中的方程進(jìn)行:兩個(gè)方程交換位置,對(duì)一個(gè)方程乘一個(gè)非零常數(shù),將一個(gè)方程的常數(shù)倍對(duì)應(yīng)加到另一個(gè)方程上。顯然進(jìn)行三種變換后所得方程組與原方程組同解,若設(shè)所得方程組為BX=0,則B即為對(duì)A進(jìn)行行初等變換后所得矩陣。B的列向量的線性相關(guān)性與BX=0是否有解等價(jià),也就是與AX=0是否有解等價(jià),即與A的列向量的線性相關(guān)性等價(jià)!

第二個(gè)問題 以一個(gè)具體例子來說明。

例:設(shè)矩陣 ,求A的列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組,

并把不屬于極大無關(guān)組的列向量用極大無關(guān)組線性表示。

解:對(duì)A施行初等行變換變?yōu)樾须A梯最簡(jiǎn)形矩陣

顯然變換后矩陣的第1、2、4列是3個(gè)線性無關(guān)向量,而加入第3、5列中任何一列即變?yōu)榫性相關(guān)了,故由行變換不改變列向量的線性相關(guān)性可知α1,α2,α4是A的列向量組的極大無關(guān)組。

那么將α3由α1,α2,α4的線性表示的系數(shù)即為非齊次線性方程組 (α1,α2,α4)(x1,x2,x3)T=α3的解,故對(duì)增廣矩陣進(jìn)行行初等變換即為

所以α3=-α1-α2+0α4,此系數(shù)即為對(duì)A進(jìn)行行初等變換后的第3列數(shù)字!

同理可得α5由α1,α2,α4線性表示的系數(shù)即為對(duì)A進(jìn)行初等行變換后所得行最簡(jiǎn)形矩陣的第5列對(duì)應(yīng)數(shù)字。

綜上所述,對(duì)矩陣的行初等變換的理解均可以對(duì)應(yīng)到以此矩陣為系數(shù)的線性方程組的同解操作,而討論線性方程組的解時(shí)又可以利用矩陣的相關(guān)理論進(jìn)行簡(jiǎn)化!

4.任一矩陣的行秩等于它的列秩。

證明:任取矩陣A,把它經(jīng)過初等行變換化成階梯型矩陣J.據(jù)(2)、(3)得出:A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩。 5.設(shè)矩陣A經(jīng)過初等行變換成為階梯形矩陣J,則A的秩等于J的非零行數(shù)的。設(shè)J的主元所在的列是第j1,則A的第j1,‘’’jr列,‘’’jr列構(gòu)成A的列向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組。

6.矩陣A的秩等于A的轉(zhuǎn)置的秩。 7.矩陣的初等列變換不改變矩陣的秩。

8.任一非零矩陣的秩等于它的不為零的子式的最高階數(shù)。 (任一非零矩陣A的行秩等于列秩,并且等于A的不為零子式的最高階數(shù)。) 9.一個(gè)n級(jí)矩陣A的秩等于n當(dāng)且僅當(dāng)|A|≠0 (滿秩矩陣)

10.設(shè)s*n矩陣A的秩為r,則A的不等于零的r階子式所在的行(列)構(gòu)成A的列(行)向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組。

矩陣的秩與運(yùn)算的關(guān)系

1.A≌B 則r(A)=r(B)

2.若PQ為可逆矩陣,則r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)=r(A) 3.r(A±B)≤r(A)+r(B)

4.對(duì)于任意n階方陣A A*A=A A*=|A|E

5.若A可逆則A-1=A*/|A| (A*)-1=(A-1)*=A/|A| 6.(kA)*=kn-1A*(n≥2)

7.A、B為同階方陣。(AB)*=B*A* (A*)*=|A|n-1A(n>2)

【矩陣的秩的性質(zhì)以及矩陣運(yùn)算和矩陣的秩的關(guān)系】相關(guān)文章:

分塊冪等矩陣廣義Schur補(bǔ)的性質(zhì)04-28

帶參數(shù)矩陣特征方程的性質(zhì)探討04-26

互補(bǔ)判斷矩陣排序的最小偏差法的性質(zhì)04-29

初等變換與矩陣的QR分解的關(guān)系04-28

直覺模糊集運(yùn)算性質(zhì)04-26

基于關(guān)系矩陣和模糊集合的斜坡穩(wěn)定性綜合評(píng)價(jià)05-02

基于智能規(guī)劃與矩陣運(yùn)算的智能排課系統(tǒng)設(shè)計(jì)04-30

空間方向關(guān)系的反轉(zhuǎn)運(yùn)算05-01

關(guān)于矩陣Γα-群逆和Γα序04-27

準(zhǔn)素理想的商運(yùn)算及其代數(shù)簇的性質(zhì)04-26