打點(diǎn)計(jì)時(shí)器測(cè)加速度-你錯(cuò)了嗎

打點(diǎn)計(jì)時(shí)器分為電磁打點(diǎn)計(jì)時(shí)器和電火花打點(diǎn)計(jì)時(shí)器，是學(xué)生進(jìn)入高中學(xué)習(xí)階段在物理學(xué)科所接觸的第一個(gè)測(cè)量工具。用打點(diǎn)計(jì)時(shí)器測(cè)加速度是高中物理的一個(gè)重要實(shí)驗(yàn)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的認(rèn)知態(tài)度、良好的動(dòng)手實(shí)驗(yàn)操作能力、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)運(yùn)算能力以及合作學(xué)習(xí)等方面意義重大。無(wú)論是在歷年高考中，還是在各地市模擬或檢測(cè)中，它都占有重要的一席之地。然而，筆者綜觀當(dāng)前的教學(xué)思路和題目設(shè)計(jì)的方法，卻發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題，那就是錯(cuò)誤地把“加速度的平均值”當(dāng)作“加速度”，錯(cuò)誤地把“一次測(cè)量”當(dāng)作“多次測(cè)量”，從而錯(cuò)誤地用“多次測(cè)量求平均值”的方法計(jì)算實(shí)驗(yàn)小車(chē)的加速度。

以下是筆者對(duì)這個(gè)問(wèn)題的分析。

1 傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)方法

1.1 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

1）練習(xí)使用打點(diǎn)計(jì)時(shí)器；2）測(cè)平均速度；3）測(cè)瞬時(shí)速度；4）測(cè)小車(chē)運(yùn)動(dòng)的加速度。

1.2 實(shí)驗(yàn)原理

平均速度的定義：位移和所用時(shí)間的比值，。

瞬時(shí)速度：對(duì)于勻變速直線運(yùn)動(dòng)，平均速度等于中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度，。

加速度：在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中，速度的變化量和所用時(shí)間的比值，（定義法）；（逐差法）。在v-t圖像中，圖線的斜率表示加速度。

1.3 實(shí)驗(yàn)器材

打點(diǎn)計(jì)時(shí)器（電磁打點(diǎn)計(jì)時(shí)器或電火花打點(diǎn)計(jì)時(shí)器）、紙帶、實(shí)驗(yàn)用小車(chē)、一端固定有定滑輪的長(zhǎng)木板、鉤碼、細(xì)線、電源（學(xué)生電源或生活用電）、導(dǎo)線、刻度尺。

1.4 實(shí)驗(yàn)步驟

在小車(chē)的后面固定一條紙帶，打點(diǎn)計(jì)時(shí)器固定在長(zhǎng)木板沒(méi)有滑輪的一側(cè)，紙帶穿過(guò)打點(diǎn)計(jì)時(shí)器的限位孔，用鉤碼拉動(dòng)小車(chē)在長(zhǎng)木板上做加速運(yùn)動(dòng)，打點(diǎn)計(jì)時(shí)器就會(huì)在紙帶上打出一系列點(diǎn)，這些點(diǎn)就記錄了小車(chē)的運(yùn)動(dòng)情況。換上新紙帶，重復(fù)操作幾次。

1.5 數(shù)據(jù)處理

從多條紙帶當(dāng)中選擇一條用來(lái)分析小車(chē)的運(yùn)動(dòng)，先判斷小車(chē)是否做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，然后計(jì)算小車(chē)的加速度。

1）判斷小車(chē)是否做勻變速直線運(yùn)動(dòng)。如圖1所示，把紙帶按計(jì)數(shù)點(diǎn)分段做標(biāo)記，可采用分段求加速度的方法進(jìn)行比較。如果用加速度的定義式計(jì)算加速度，需要首先計(jì)算瞬時(shí)速度，這種方法不僅需要進(jìn)行測(cè)量，還要進(jìn)行多次運(yùn)算，相對(duì)比較麻煩。另一種方法是采用逐項(xiàng)差值法。先測(cè)量各計(jì)數(shù)點(diǎn)之間的距離x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8，然后算出差值：Δx1=x2-x1，Δx2=x3-x2，Δx3=x4-x3，Δx4=x5-x4，Δx5=x6-x5，Δx6=x7-x6，Δx7=x8-x7。如果各差值在誤差允許的范圍內(nèi)相等，就可以判斷小車(chē)做勻變速直線運(yùn)動(dòng)。

2）計(jì)算小車(chē)的加速度。針對(duì)所選出的一條紙帶，人們往往從減小誤差和充分利用測(cè)量數(shù)據(jù)的角度去計(jì)算加速度，因此，在差值判斷的基礎(chǔ)上大多采用逐差法或圖像法。

關(guān)于逐差法，各類(lèi)期刊、報(bào)紙、教輔資料爭(zhēng)議頗多，由逐項(xiàng)逐差法又派生出多項(xiàng)間隔逐差法或者更復(fù)雜的逐差法。

①逐項(xiàng)逐差法。由可知，，那么，，

，，

，，

。

為了減小偶然誤差，對(duì)所求出的多個(gè)加速度求平均值，則：

。

②多項(xiàng)間隔逐差法。

由可知，

，那么，

，，

。

同樣，為了減小偶然誤差，對(duì)所求的多個(gè)加速度求平均值，則：

。

③圖像法。首先把各時(shí)段求出的每一段的平均速度作為中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度：，，，，，，，。然后在v-t圖像中進(jìn)行描點(diǎn)。最后用一條直線進(jìn)行“擬合”，使各點(diǎn)均勻分布在直線上或者分布在直線的兩側(cè)，計(jì)算直線的斜率求加速度。

從理論上來(lái)看，筆者認(rèn)為以上三種求加速度的方法都是錯(cuò)誤的。

2 傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)存在的錯(cuò)誤

傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)的方法錯(cuò)在哪兒呢？這要從加速度的定義說(shuō)起。加速度是描述物體速度變化快慢的物理量，是物體速度的變化量與所用時(shí)間的比值。也就是說(shuō)，加速度是對(duì)應(yīng)某一個(gè)特定時(shí)間段而言的，當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮小時(shí)就是瞬時(shí)加速度。一般情況下所說(shuō)的加速度，是指平均加速度。在理想的勻變速運(yùn)動(dòng)中，瞬時(shí)加速度與整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的加速度是一致的。

在本實(shí)驗(yàn)中，無(wú)論是用各段的差值求加速度，還是用各段初末瞬時(shí)速度作圖求加速度，由于偶然誤差的原因，各段所求的數(shù)值可能存在差異。這時(shí)，人們自然會(huì)想到用多次測(cè)量求平均值的方法來(lái)減小偶然誤差。問(wèn)題就出現(xiàn)在這兒。

首先，從加速度的物理意義可以知道，“加速度的平均值”不等同于“平均加速度”。對(duì)于某一個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，可以分不同的時(shí)間段求加速度a1、a2、a3…an，但是每一個(gè)加速度只對(duì)相應(yīng)的時(shí)間段有物理意義。也就是說(shuō)，加速度與時(shí)間段是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。對(duì)一個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程而言，不同時(shí)段“加速度的平均值”只是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，只能表示不同時(shí)間段的加速度大小上存在差異，有的比平均值大，有的比平均值小。對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程而言，只有它的數(shù)學(xué)意義而沒(méi)有實(shí)際的物理意義。

為了方便理解，先以速度這個(gè)物理量舉例：一只小螞蟻從一根細(xì)竹竿一端爬到另一端，已知小螞蟻爬過(guò)每一節(jié)竹竿所用的時(shí)間，求小螞蟻爬行的速度。從速度的定義可知，用小螞蟻通過(guò)的總位移和所用總時(shí)間的比值就可以求出這個(gè)速度。那么，能不能先對(duì)小螞蟻爬過(guò)每一節(jié)竹竿求速度，再用取平均值的方法求小螞蟻的速度呢？當(dāng)然不能。同理，用不同時(shí)段的幾個(gè)加速度求平均，顯然不能等效替代整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的加速度。

其次，這些加速度是“多次測(cè)量”的數(shù)據(jù)嗎？不是。這些加速度只是對(duì)小車(chē)加速度一次測(cè)量中的分時(shí)段求值而已，應(yīng)該屬于不同的測(cè)量。再舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子：測(cè)一根胡蘿卜的密度，每測(cè)一組質(zhì)量和體積就能計(jì)算一次密度，多測(cè)幾次分別求密度就叫做多次測(cè)量；因?yàn)槊恳淮蔚臏y(cè)量會(huì)存在誤差，所以通過(guò)多次測(cè)量求平均值可以減小偶然誤差，該平均值就是這根胡蘿卜實(shí)驗(yàn)測(cè)量的密度。但是，如果把一根胡蘿卜等長(zhǎng)度切成幾段，測(cè)每一段的質(zhì)量和體積計(jì)算密度，就屬于不同的測(cè)量，每一段胡蘿卜密度的不同可以稱之為“差異”而不能稱之為“誤差”。 　　所謂“多次測(cè)量”，意味著針對(duì)同一個(gè)需要測(cè)量的物理量重復(fù)實(shí)驗(yàn)操作。打點(diǎn)計(jì)時(shí)器是一種特殊的測(cè)量工具，能同時(shí)記錄運(yùn)動(dòng)物體的“時(shí)間—空間”信息，每打一條紙帶只對(duì)應(yīng)一次實(shí)驗(yàn)操作，是對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的一次測(cè)量。一個(gè)過(guò)程中的不同時(shí)段會(huì)存在“差異”而不是存在“誤差”。

從另一方面，應(yīng)該全面綜合考慮運(yùn)動(dòng)過(guò)程中出現(xiàn)的各種偶然因素，用發(fā)展的眼光看待這些偶然因素產(chǎn)生的影響，不能片面地認(rèn)為這一段的誤差偏大而那一段的誤差偏小。

下面，筆者從整體的角度來(lái)分析小車(chē)的運(yùn)動(dòng)。

小車(chē)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不可避免地會(huì)出現(xiàn)這樣或者那樣的偶然因素，而小車(chē)最終的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)就是包含這些偶然因素的必然結(jié)果。從混沌學(xué)的角度來(lái)看，一個(gè)偶然因素產(chǎn)生的影響會(huì)持續(xù)到事件發(fā)展的結(jié)尾，也就是說(shuō)，后面的偶然因素包含前面的偶然因素產(chǎn)生的影響，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程是“雞生蛋，蛋生雞……”的一個(gè)有機(jī)的整體。在小車(chē)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，某一個(gè)偶然因素產(chǎn)生了影響，則小車(chē)的運(yùn)動(dòng)因此會(huì)發(fā)生一些變化，不管是經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，小車(chē)的運(yùn)動(dòng)都是在這個(gè)變化的前提下進(jìn)行的；反之，這個(gè)偶然因素顯然也是因?yàn)橹�前的其他的偶然因素產(chǎn)生的變化所造成的。所以，小車(chē)最終的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)本身就是一個(gè)個(gè)誤差累積作用的結(jié)果，已經(jīng)不能孤立地看待整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中某一段運(yùn)動(dòng)的誤差。既然整個(gè)過(guò)程中的各種誤差本身已經(jīng)累積作用，再試圖通過(guò)分段取平均來(lái)減小誤差，顯然是毫無(wú)道理可言的。

“開(kāi)弓沒(méi)有回頭箭”，可以分段分析“一支箭”在不同時(shí)段運(yùn)動(dòng)的差異，但絕不能用某一段的運(yùn)動(dòng)代替“一支箭”運(yùn)動(dòng)的“全部”。

3 正確的實(shí)驗(yàn)思路

正確地用打點(diǎn)計(jì)時(shí)器測(cè)加速度的實(shí)驗(yàn)操作步驟和傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)是相同的，只是在計(jì)算加速度的數(shù)據(jù)處理上有所不同。

3.1 若只用一條紙帶測(cè)加速度

由前面的分析可知，如果只用一條紙帶，則只是對(duì)小車(chē)的加速度進(jìn)行了一次測(cè)量，只能整體計(jì)算出一個(gè)加速度。可以選用紙帶兩個(gè)遠(yuǎn)端各取兩個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)求加速度，這個(gè)加速度就是小車(chē)實(shí)際物理意義上的加速度。

1）用定義法求加速度。如圖3所示，先計(jì)算瞬時(shí)速度，由可知，，；再由加速度的定義式可得：。

2）用間隔差值法求加速度：

。

由以上推導(dǎo)可知，間隔差值法實(shí)質(zhì)上也是定義法。對(duì)比以上兩種方法可以看出，如果選用定義法，實(shí)驗(yàn)中所直接測(cè)量的數(shù)據(jù)先參與商值運(yùn)算求瞬時(shí)速度，再參與差值運(yùn)算求速度的變化量，最后參與商值運(yùn)算求加速度，由于保留位數(shù)和有效數(shù)字的原因，誤差會(huì)不斷增大。如果選用間隔差值法，所測(cè)數(shù)據(jù)先參與差值運(yùn)算求位移差，再參與商值運(yùn)算求加速度。因此，從減小計(jì)算所產(chǎn)生的誤差來(lái)說(shuō)，推薦使用間隔差值法。

3.2 若用多條紙帶測(cè)加速度

如果用打點(diǎn)計(jì)時(shí)器進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)操作，選擇多條紙帶，則每條紙帶可以分別求一個(gè)加速度，最后求和取平均值：。

在這里，才是小車(chē)真正物理意義上的“多次測(cè)量求平均值”的加速度。

總之，應(yīng)該全面地看待事物發(fā)展的規(guī)律，科學(xué)地認(rèn)識(shí)加速度的物理實(shí)質(zhì)，充分理解打點(diǎn)計(jì)時(shí)器這一測(cè)量工具的測(cè)量原理，只有這樣才能真正體現(xiàn)本實(shí)驗(yàn)的意義和價(jià)值。

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