證明公理3的推論3

公理3的內容是：經過不在同一直線上的三個點，有且只有一個平面。

公理3的推論3是：兩條平行的直線確定一個平面。

所有的推論是由相應的公理證明的。

證明：

設兩直線l和m互相平行，取l上兩個點A和B，取m上兩個點C和D，

顯然任意三點都不共線，否則l和m將會相交，與兩直線平行矛盾，

根據(jù)公理3，知道

過A、C、D有且只有一個平面，設為平面α;過B、C、D有且只有一個平面 ，設為平面β;

假設兩平面α和β不重合，則B在α外，

在同一平面內，永不相交的兩條直線叫平行線，

所以在α內過A且與CD平行的直線有且只有一條，不妨設為AE，

此時，AB和AE都與CD平行，

與“過直線外一點與此直線平行的直線有且只有一條"矛盾,

所以D也在α內，此時α和β重合，

即α和β是同一個平面，

即兩條平行的直線確定一個平面。

2

公理3的內容是：經過不在同一直線上的三個點，有且只有一個平面。

公理3的推論3是：兩條平行的直線確定一個平面。

所有的推論是由相應的公理證明的。

證明：

設兩直線l和m互相平行，取l上兩個點A和B，取m上兩個點C和D，

顯然任意三點都不共線，否則l和m將會相交，與兩直線平行矛盾，

根據(jù)公理3，知道

過A、C、D有且只有一個平面，設為平面α;過B、C、D有且只有一個平面 ，設為平面β;

假設兩平面α和β不重合，則B在α外，

在同一平面內，永不相交的兩條直線叫平行線，

所以在α內過A且與CD平行的直線有且只有一條，不妨設為AE，

此時，AB和AE都與CD平行，

與“過直線外一點與此直線平行的直線有且只有一條"矛盾,

所以D也在α內，此時α和β重合，

即α和β是同一個平面，

即兩條平行的直線確定一個平面。

3

兩點定一條直線

三點(不直線)定一個平面

兩條平行的直線中其中一條直線可以確定2個點

另一條中找隨便一個點，這個點在第一條直線外

所以不在一直線上的三個點可確定一個平面

4

存在性：

在每一條直線上都任意取一點(不是交點),不在同一直線上的三個點有一個平面(公理3)。

唯一性：

不在同一直線上的三個點只有一個平面(公理3)。

綜上所述，兩條相交的直線確定一個平面。

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