高中幾何證明

一、

已知平行四邊形ABCD，過ABC三點(diǎn)的圓O1，分別交AD.BD于E.F、過CDF三點(diǎn)的圓O2交AD于G 。設(shè)圓O1.O2半徑分別為R,r。

1.求證AC^2=AG*AD

2.AD:EG=R^2:r^2

連接AC、GC。利用兩個(gè)圓轉(zhuǎn)化角的關(guān)系，

∠AGC = 180 - ∠DGC = 180 - ∠DFC = ∠BFC = ∠BAC = ∠ACD

于是兩個(gè)三角形ACG和ADC相似。第一問由此立得。

同樣利用上述相似，∠GCA = ∠ADC = ∠ABC。于是由“弦切角等于圓周角”，說明GC與圓O1相切。于是GC^2 = GE*GA。

在兩個(gè)圓中利用正弦定理，不難發(fā)現(xiàn)R/r = BC/CD = AD/CD。此時(shí)

AD/EG = AG*AD/AG*EG = AC^2/GC^2 = (AC/GC)^2 = (AD/CD)^2

最后一個(gè)等式仍然源于前述相似

二、

因?yàn)椴荒苌蟼鲌D片，，所以口敘述一下，，高手們都可以想象出來吧

在一個(gè)圓的圓上選不重合的四點(diǎn)，，，連接成一個(gè)非平行四邊形非梯形的四邊形，，也就是內(nèi)切四邊形吧，，然后延長其中兩條邊，，交于點(diǎn)A，，再延長另外兩條邊交于點(diǎn)B，，然后過A點(diǎn)做圓的兩條切線，，切線交圓于點(diǎn)C和D，，怎樣證明B,C,D共線?

用調(diào)和點(diǎn)列的方法較為容易 但方法的掌握不在高中的要求內(nèi)

下面采用簡單的定理來證明 比較麻煩

首先，設(shè)圓內(nèi)接四邊形為四邊形ABCD,AB與DC交于點(diǎn)P，AD與BC交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q做圓O的兩條切線,切點(diǎn)分別為點(diǎn)E和點(diǎn)F.

再設(shè)AC與BD交于點(diǎn)R,下面來證明一個(gè)更強(qiáng)的結(jié)論：P、F、R、E共線.

設(shè)OQ交EF于L,PR交AQ于M,EF交AQ于點(diǎn)M',連結(jié)OF、OE、AL、OA、OD，并延長AL到S.

由Menelaus定理，

AB/BP×PC/CD×DQ/QA=1 -------------------------------------------------------------------------------1

由Ceva定理，

AB/BP×PC/CD×DM/MA=1 -------------------------------------------------------------------------------2

由1、2，

DM/MA=DQ/QA --------------------------------------------------------------------------------*

另一方面，

由射影定理，

QE^2=QL×QO ----------------------------------------------------------------------------------------------3

由切割線定理，

QE^2=QD×QA ----------------------------------------------------------------------------------------------4

由3，4，

QL*QO=QD*QA

所以O(shè)，L，D，A四點(diǎn)共圓

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