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極限 定義證明

時間:2022-11-20 14:35:38 證明范文 我要投稿
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極限 定義證明

  證明,釋義是指根據(jù)確實(shí)的材料判明人或事物的真實(shí)性。以下是小編收集整理的極限定義證明,僅供參考,大家一起來看看吧。

極限 定義證明

  極限 定義證明

  趨近于正無窮,根號x分之sinx等于0

  x趨近于負(fù)1/2,2x加1分之1減4x的平方等于2

  這兩個用函數(shù)極限定義怎么證明?

  x趨近于正無窮,根號x分之sinx等于0

  證明:對于任意給定的ξ>0,要使不等式

  |sinx/√x-0|=|sinx/√x|<ξ成立,只需要

  |sinx/√x|^2<ξ^2,即sinx^2/x<ξ^2(∵x→+∞),則x>sinx^2/ξ^2,

  ∵|sinx| ≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立,

  所以取X=1/ξ^2,當(dāng)x>X時,必有|sinx/√x-0|<ξ成立,

  同函數(shù)極限的定義可得x→+∞時,sinx/√x極限為0.

  x趨近于負(fù)1/2,2x加1分之1減4x的平方等于2

  證明:對于任意給定的ξ>0,要使不等式

  |1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|<ξ成立,只

  需要0<|x+1/2|<ξ/2成立.所以取δ=ξ/2,則當(dāng)0<|x+1/2|<δ時,必有

  |1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|<ξ,

  由函數(shù)極限的定義可得x→-1/2時,1-4x^2/2x+1的極限為2.

  注意,用定義證明X走近于某一常數(shù)時的極限時,關(guān)鍵是找出那個絕對值里面X減去的那個X0.

  記g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n),n趨于正無窮;

  下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無窮。把max{a1,...am}記作a。

  不妨設(shè)f1(x)趨于a;作b>a>=0,M>1;

  那么存在N1,當(dāng)x>N1,有a/M<=f1(x)

  注意到f2的極限小于等于a,那么存在N2,當(dāng)x>N2時,0<=f2(x)

  同理,存在Ni,當(dāng)x>Ni時,0<=fi(x)

  取N=max{N1,N2...Nm};

  那么當(dāng)x>N,有

  (a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n

  所以a/M<=[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)

  對n取極限,所以a/M<=g(x)N時成立;

  令x趨于正無窮,

  a/M<=下極限g(x)<=上極限g(x)<=b;

  注意這個式子對任意M>1,b>a都成立,中間兩個極限都是固定的數(shù)。

  令M趨于正無窮,b趨于a;

  有a<=下極限g(x)<=上極限g(x)<=a;

  這表明limg(x)=a;

  證畢;

  證明有點(diǎn)古怪是為了把a(bǔ)=0的情況也包含進(jìn)去。

  還有個看起來簡單些的方法

  記g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n),n趨于正無窮;

  g(x)=max{f1(x),....fm(x)};

  然后求極限就能得到limg(x)=max{a1,...am}。

  其實(shí)這個看起來顯然,但對于求極限能放到括號里面,但真要用極限定義嚴(yán)格說明卻和上面的證明差不多。

  有種簡單點(diǎn)的方法,就是

  max{a,b}=|a+b|/2+|a-b|/2 從而為簡單代數(shù)式。

  多個求max相當(dāng)于先對f1,f2求max,再對結(jié)果和f3求,然后繼續(xù),從而為有限次代數(shù)運(yùn)算式,

  故極限可以放進(jìn)去。

  2

  一)時函數(shù)的極限:

  以 時 和 為例引入。

  介紹符號: 的意義, 的直觀意義。

  定義 ( 和 . )

  幾何意義介紹鄰域 其中 為充分大的正數(shù)。然后用這些鄰域語言介紹幾何意義。

  例1驗(yàn)證 例2驗(yàn)證 例3驗(yàn)證 證 ……

  (二)時函數(shù)的極限:

  由 考慮 時的極限引入。

  定義函數(shù)極限的“ ”定義。

  幾何意義.

  用定義驗(yàn)證函數(shù)極限的基本思路。

  例4 驗(yàn)證 例5 驗(yàn)證 例6驗(yàn)證 證 由 =

  為使 需有 為使 需有 于是, 倘限制 , 就有

  例7驗(yàn)證 例8驗(yàn)證 ( 類似有 (三)單側(cè)極限:

  1.定義:單側(cè)極限的定義及記法。

  幾何意義: 介紹半鄰域 然后介紹 等的幾何意義。

  例9驗(yàn)證 證 考慮使 的 2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系:

  Th類似有: 例10證明: 極限 不存在。

  例11設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)單調(diào)。若 存在, 則有

  = §2 函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時)

  教學(xué)目的:使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

  教學(xué)要求:掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì):唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等。

  教學(xué)重點(diǎn):函數(shù)極限的性質(zhì)及其計(jì)算。

  教學(xué)難點(diǎn):函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。

  教學(xué)方法:講練結(jié)合。

  一、組織教學(xué):

  我們引進(jìn)了六種極限: , 以下以極限 為例討論性質(zhì)。均給出證明或簡證。

  二、講授新課:

  (一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出。

  1.唯一性:

  2.局部有界性:

  3.局部保號性:

  4.單調(diào)性( 不等式性質(zhì) ):

  Th 4若 和 都存在, 且存在點(diǎn) 的空心鄰域,使 , 都有 證 設(shè) = ( 現(xiàn)證對 有 )

  註:若在Th 4的條件中, 改“ ”為“ ”, 未必就有 以 舉例說明。

  5.迫斂性:

  6.四則運(yùn)算性質(zhì):( 只證“+”和“ ”)

  (二)利用極限性質(zhì)求極限: 已證明過以下幾個極限:

  (注意前四個極限中極限就是函數(shù)值 )

  這些極限可作為公式用。在計(jì)算一些簡單極限時, 有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式。

  利用極限性質(zhì),特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是:通過有關(guān)性質(zhì), 把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值, 即計(jì)算得所求極限。

  例1( 利用極限 和 )

  例2例3註:關(guān)于 的有理分式當(dāng) 時的極限。

  例4 [ 利用公式 ]

  例5例6例7

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