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幾何法證明不等式
幾何法證明不等式用解析法證明不等式：
[(a+b)/2]^2<(a^2+b^2)/2
(a,b∈R，且a≠b)
設(shè)一個正方形的邊為C,有4個直角三角形拼成這個正方形,設(shè)三角形的一條直角邊為A,另一條直角邊為B, (B>A) A=B,剛好構(gòu)成,若A不等于B時,側(cè)中間會出現(xiàn)一個小正方形,所以小正方形的面積為(B-A)^2,經(jīng)化簡有(B+A)^2=4AB,所以有((A+B)/2)^2=AB,又因為(A^2+B^2)/2>=AB,所以有((A+B)/2)^2<=(A^2+B^2)/2,又因為A不等與B,所以不取等號
可以在直角三角形內(nèi)解決該問題
=[(a+b)/2]^2-(a^2+b^2)/2
=<2ab-(a^2+b^2)>/4
=-(a-b)^2/4
<0
能不能用幾何方法證明不等式，舉例一下。
比如證明 SIN x不大于x (x范圍是0到 兀/2，閉區(qū)間)
做出一個單位圓，
以O(shè)為頂點，x軸為角的一條邊
任取第一象限一個角x，
它所對應(yīng)的弧長就是1*x=x
那個角另一條邊與圓有一個交點
交點到x軸的距離就是 SIN x
因為點到直線，垂線段長度最小，
所以SIN x 小于等于 x，當(dāng)且盡當(dāng)x=0時，取等
已經(jīng)有的方法：第一數(shù)學(xué)歸納法2種;反向歸納法(特殊到一般從2^k過渡到n);重復(fù)遞歸利用結(jié)論法;凸函數(shù)性質(zhì)法;
能給出其他方法的就給分
(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n)
一個是算術(shù)，一個是幾何。人類認(rèn)認(rèn)識算術(shù)才有幾何，人類吃飽了就去研究細(xì)微的東西，所以明顯有后者小于前者的結(jié)論，這么簡單都不懂，叼佬就是叼佬^_^
搞笑歸搞笑，我覺得可以這樣做，題目結(jié)論相當(dāng)于證
(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)≥0
我們記f(a1,a2,……,an)=(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)這時n看做固定的。我們討論f的極值，它是一個n元函數(shù)，它是沒有最大值的(這個顯然)
我們考慮各元偏導(dǎo)都等于0，得到方程組，然后解出
a1=a2=……=an
再代入f中得0，從而f≥0，里面的具體步驟私下聊，寫太麻煩了。
要的是數(shù)學(xué)法證明也就是代數(shù)法 不是用向量等幾何法證明.....有沒有哪位狠人幫我解決下
【柯西不等式的證明】 二維形式的證明
(a^2+b^2)(c^2+d^2)(a,b,c,d∈R)
=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2
=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2-2abcd+b^2·c^2
=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2
≥(ac+bd)^2，等號在且僅在ad-bc=0即ad=bc時成立。
一般形式的證明
求證：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2
證明：
當(dāng)a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0時，一般形式顯然成立
令A(yù)=∑ai^2B=∑ai·biC=∑bi^2
當(dāng)a1，a2，…，an中至少有一個不為零時，可知A>0
構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=Ax^2+2Bx+C，展開得：
f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑ (ai·x+bi)^2≥0
故f(x)的判別式△=4B^2-4AC≤0，
移項得AC≥B，欲證不等式已得證。
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