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數(shù)列公式大全【優(yōu)秀】
數(shù)列公式大全1
數(shù)列的基本概念 等差數(shù)列
(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式an=f(n)
(2)數(shù)列的遞推公式
(3)數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系
an+1-an=d
an=a1+(n-1)d
a，A，b成等差 2A=a+b
m+n=k+l am+an=ak+al
等比數(shù)列 常用求和公式
an=a1qn_1
a，G，b成等比 G2=ab
m+n=k+l aman=akal
不等式
不等式的基本性質(zhì) 重要不等式
a>b b
a>b，b>c a>c
a>b a+c>b+c
a+b>c a>c-b
a>b，c>d a+c>b+d
a>b，c>0 ac>bc
a>b，c<0 ac
a>b>0，c>d>0 ac
a>b>0 dn>bn(n∈Z，n>1)
a>b>0 > (n∈Z，n>1)
(a-b)2≥0
a，b∈R a2+b2≥2ab
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
證明不等式的基本方法
比較法
(1)要證明不等式a>b(或a
a-b>0(或a-b<0=即可
(2)若b>0，要證a>b，只需證明 ，
要證a
綜合法 綜合法就是從已知或已證明過的.不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出欲證的不等式(由因?qū)Ч?的方法。
分析法 分析法是從尋求結(jié)論成立的充分條件入手，逐步尋求所需條件成立的充分條件，直至所需的條件已知正確時(shí)為止，明顯地表現(xiàn)出“持果索因”
數(shù)列公式大全2
一、知識與技能
1.了解公差的概念，明確一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列;
2.正確認(rèn)識使用等差數(shù)列的各種表示法，能靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式求等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)、指定的項(xiàng).
二、過程與方法
1.通過對等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生：的觀察力及歸納推理能力；
2.通過等差數(shù)列變形公式的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生：思維的深刻性和靈活性.
三、情感態(tài)度與價(jià)值觀
通過等差數(shù)列概念的歸納概括，培養(yǎng)學(xué)生：的觀察、分析資料的能力，積極思維，追求新知的創(chuàng)新意識.
教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
師：上兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義以及給出數(shù)列和表示數(shù)列的幾種方法——列舉法、通項(xiàng)公式、遞推公式、圖象法.這些方法從不同的角度反映數(shù)列的特點(diǎn).下面我們看這樣一些數(shù)列的例子：(課本P41頁的4個(gè)例子)
(1)0，5，10，15，20，25，…;
(2)48，53，58，63，…;
(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…;
(4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，….
請你們來寫出上述四個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng).
生：第一個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)為30，第二個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)為78，第三個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)為3，第四個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)為10 510.
師：我來問一下，你依據(jù)什么寫出了這四個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)呢?以第二個(gè)數(shù)列為例來說一說.
生：這是由第二個(gè)數(shù)列的后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)多5，依據(jù)這個(gè)規(guī)律性我得到了這個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)為78.
師：說得很有道理!我再請同學(xué)們仔細(xì)觀察一下，看看以上四個(gè)數(shù)列有什么共同特征？我說的是共同特征.
生：1每相鄰兩項(xiàng)的差相等，都等于同一個(gè)常數(shù).
師：作差是否有順序，誰與誰相減？
生：1作差的順序是后項(xiàng)減前項(xiàng)，不能顛倒.
師：以上四個(gè)數(shù)列的共同特征：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)(即等差)；我們給具有這種特征的數(shù)列起一個(gè)名字叫——等差數(shù)列.
這就是我們這節(jié)課要研究的內(nèi)容.
推進(jìn)新課
等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差(常用字母“d”表示).
�。�1）公差d一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得，而不能用前項(xiàng)減后項(xiàng)來求；
�。�2）對于數(shù)列{an}，若an-a n-1=d(與n無關(guān)的數(shù)或字母)，n≥2，n∈N*，則此數(shù)列是等差數(shù)列，d叫做公差.
師：定義中的關(guān)鍵字是什么?(學(xué)生：在學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到一些概念，能否抓住定義中的關(guān)鍵字，是能否正確地、深入的理解和掌握概念的重要條件，更是學(xué)好數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的重要一環(huán).因此教師：應(yīng)該教會學(xué)生：如何深入理解一個(gè)概念，以培養(yǎng)學(xué)生：分析問題、認(rèn)識問題的能力)
生：從“第二項(xiàng)起”和“同一個(gè)常數(shù)”.
師：：很好！
師：請同學(xué)們思考：數(shù)列(1)、(2)、(3)、(4)的通項(xiàng)公式存在嗎？如果存在，分別是什么？
生：數(shù)列(1)通項(xiàng)公式為5n-5，數(shù)列(2)通項(xiàng)公式為5n+43，數(shù)列(3)通項(xiàng)公式為2.5n-15.5，….
師：好，這位同學(xué)用上節(jié)課學(xué)到的知識求出了這幾個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，實(shí)質(zhì)上這幾個(gè)通項(xiàng)公式有共同的特點(diǎn)，無論是在求解方法上，還是在所求的結(jié)果方面都存在許多共性，下面我們來共同思考.
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等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
師：等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間關(guān)系而得到的，若一個(gè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則據(jù)其定義可得什么?
生：a2-a1=d,即a2=a1+d.
師：對，繼續(xù)說下去!
生：a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d;
a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d;
……
師：好！規(guī)律性的東西讓你找出來了，你能由此歸納出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎?
生：由上述各式可以歸納出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=a1+(n-1)d.
師：很好!這樣說來，若已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項(xiàng)a1和公差d，便可求得其通項(xiàng)an了.需要說明的是：此公式只是等差數(shù)列通項(xiàng)公式的猜想，你能證明它嗎?
生：前面已學(xué)過一種方法叫迭加法，我認(rèn)為可以用.證明過程是這樣的：
因?yàn)閍2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d.將它們相加便可以得到：an=a1+(n-1)d.
師：太好了!真是活學(xué)活用啊!這樣一來我們通過證明就可以放心使用這個(gè)通項(xiàng)公式了.
�。劢處煟壕v］
由上述關(guān)系還可得：am=a1+(m-1)d,
即a1=am-(m-1)d.
則an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d,
即等差數(shù)列的第二通項(xiàng)公式an=am+(n-m)d.(這是變通的通項(xiàng)公式)
由此我們還可以得到.
�。劾}剖析］
【例1】（1）求等差數(shù)列8，5，2,…的第20項(xiàng);
（2）-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的`項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？
師：這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別是什么?你能求出它的第20項(xiàng)嗎?
生：1這題太簡單了!首項(xiàng)和公差分別是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因?yàn)閚=20，所以由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.
師：好!下面我們來看看第（2）小題怎么做.
生：2由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得數(shù)列通項(xiàng)公式為an=-5-4(n-1).
由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng).
師：剛才兩個(gè)同學(xué)將問題解決得很好，我們做本例的目的是為了熟悉公式，實(shí)質(zhì)上通項(xiàng)公式就是an,a1,d,n組成的方程(獨(dú)立的量有三個(gè)).
說明:(1)強(qiáng)調(diào)當(dāng)數(shù)列｛an｝的項(xiàng)數(shù)n已知時(shí)，下標(biāo)應(yīng)是確切的數(shù)字；(2)實(shí)際上是求一個(gè)方程的正整數(shù)解的問題.這類問題學(xué)生：以前見得較少，可向?qū)W生：著重點(diǎn)出本問題的實(shí)質(zhì)：要判斷-401是不是數(shù)列的項(xiàng)，關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式an，判斷是否存在正整數(shù)n，使得an=-401成立.
【例2】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=pn+q，其中p、q是常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項(xiàng)與公差分別是什么？
例題分析：
師：由等差數(shù)列的定義，要判定{an}是不是等差數(shù)列，只要根據(jù)什么?
生：只要看差an-an-1(n≥2)是不是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù).
師：說得對，請你來求解.
生：當(dāng)n≥2時(shí)，〔取數(shù)列{an}中的任意相鄰兩項(xiàng)an-1與an(n≥2)〕
an-an-1=(pn+1)-［p(n-1)+q］=pn+q-(pn-p+q)=p為常數(shù),
所以我們說{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1=p+q，公差為p.
師：這里要重點(diǎn)說明的是：
(1)若p=0，則{an}是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列q，q，q，….
(2)若p≠0，則an是關(guān)于n的一次式，從圖象上看，表示數(shù)列的各點(diǎn)(n，an)均在一次函數(shù)y=px+q的圖象上，一次項(xiàng)的系數(shù)是公差p，直線在y軸上的截距為q.
(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)an=pn+q(p、q是常數(shù))，稱其為第3通項(xiàng)公式.課堂練習(xí)
(1)求等差數(shù)列3，7，11，…的第4項(xiàng)與第10項(xiàng).
分析：根據(jù)所給數(shù)列的前3項(xiàng)求得首項(xiàng)和公差，寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求出所┣笙.
解：根據(jù)題意可知a1=3，d=7-3=4.∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=3+(n-1)×4，即an=4n-1(n≥1，n∈N*).∴a4=4×4-1=15，a 10=4×10-1=39.
評述：關(guān)鍵是求出通項(xiàng)公式.
(2)求等差數(shù)列10，8，6，…的第20項(xiàng).
解：根據(jù)題意可知a1=10，d=8-10=-2.
所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=10+(n-1)×(-2)，即an=-2n+12，所以a20=-2×20+12=-28.
評述：要求學(xué)生：注意解題步驟的規(guī)范性與準(zhǔn)確性.
(3)100是不是等差數(shù)列2，9，16，…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，請說明理由.
分析：要想判斷一個(gè)數(shù)是否為某一個(gè)數(shù)列的其中一項(xiàng)，其關(guān)鍵是要看是否存在一個(gè)正整數(shù)n值，使得an等于這個(gè)數(shù).
解：根據(jù)題意可得a1=2，d=9-2=7.因而此數(shù)列通項(xiàng)公式為an=2+(n-1)×7=7n-5.
令7n-5=100，解得n=15.所以100是這個(gè)數(shù)列的第15項(xiàng).
(4)-20是不是等差數(shù)列0，，-7，…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，請說明理由.
解：由題意可知a1=0，,因而此數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
令，解得.因?yàn)闆]有正整數(shù)解，所以-20不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).
課堂小結(jié)
師：（1）本節(jié)課你們學(xué)了什么？（2）要注意什么？（3）在生：活中能否運(yùn)用？(讓學(xué)生：反思、歸納、總結(jié),這樣來培養(yǎng)學(xué)生：的概括能力、表達(dá)能力)
生：通過本課時(shí)的學(xué)習(xí)，首先要理解和掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學(xué)表達(dá)式a n-a n-1=d(n≥2);其次要會推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d(n≥1).
數(shù)列公式大全3
等差數(shù)列公式an=a1+(n-1)d
a1為首項(xiàng)，an為第n項(xiàng)的.通項(xiàng)公式，d為公差
前n項(xiàng)和公式為：Sn=na1+n(n-1)d/2
Sn=(a1+an)n/2
若m+n=p+q則：存在am+an=ap+aq
若m+n=2p則：am+an=2ap
以上n.m.p.q均為正整數(shù)
文字翻譯
第n項(xiàng)的值an=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)-1）×公差
前n項(xiàng)的和Sn=首項(xiàng)×n+項(xiàng)數(shù)(項(xiàng)數(shù)-1）公差/2
公差d=(an-a1)÷（n-1）
項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1
數(shù)列為奇數(shù)項(xiàng)時(shí)，前n項(xiàng)的和=中間項(xiàng)×項(xiàng)數(shù)
數(shù)列為偶數(shù)項(xiàng)，求首尾項(xiàng)相加，用它的和除以2
等差中項(xiàng)公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差數(shù)列
通項(xiàng)公式
公差×項(xiàng)數(shù)+首項(xiàng)-公差
數(shù)列公式大全4
小升初奧數(shù)之?dāng)?shù)列求和公式匯總
等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。
基本概念：首項(xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用a1表示； 項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n表示；
公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d表示；
通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的.公式，一般用an表示； 數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示
基本思路：等差數(shù)列中涉及五個(gè)量：a1 ,an, d, n, sn,,通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè)；求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)。
基本公式：通項(xiàng)公式：an = a1+（n－1）d；
通項(xiàng)＝首項(xiàng)＋（項(xiàng)數(shù)一1) ×公差；
數(shù)列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2；
數(shù)列和＝（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2；
項(xiàng)數(shù)公式：n= (an+ a1)÷d＋1；
項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差＋1；
公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）；
公差=（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷（項(xiàng)數(shù)－1）；
關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式
數(shù)列公式大全5
以下是高中數(shù)學(xué)《等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式》說課稿，僅供參考。
教學(xué)目標(biāo)
A、知識目標(biāo)：
掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法;掌握公式的運(yùn)用。
B、能力目標(biāo)：
(1)通過公式的探索、發(fā)現(xiàn)，在知識發(fā)生、發(fā)展以及形成過程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。
(2)利用以退求進(jìn)的思維策略，遵循從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生在實(shí)踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法導(dǎo)出等差數(shù)列的求和公式，培養(yǎng)學(xué)生類比思維能力。
(3)通過對公式從不同角度、不同側(cè)面的剖析，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。
C、情感目標(biāo)：(數(shù)學(xué)文化價(jià)值)
(1)公式的發(fā)現(xiàn)反映了普遍性寓于特殊性之中，從而使學(xué)生受到辯證唯物主義思想的熏陶。
(2)通過公式的運(yùn)用，樹立學(xué)生"大眾教學(xué)"的思想意識。
(3)通過生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問題，令人著迷的數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感。
教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式。
教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的.公式的靈活運(yùn)用。
教學(xué)方法：啟發(fā)、討論、引導(dǎo)式。
教具：現(xiàn)代教育多媒體技術(shù)。
教學(xué)過程
一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課。
師：上幾節(jié)，我們已經(jīng)掌握了等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及其有關(guān)性質(zhì)，今天要進(jìn)一步研究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。提起數(shù)列求和，我們自然會想到德國偉大的數(shù)學(xué)家高斯"神速求和"的故事，小高斯上小學(xué)四年級時(shí)，一次教師布置了一道數(shù)學(xué)習(xí)題："把從1到100的自然數(shù)加起來，和是多少?"年僅10歲的小高斯略一思索就得到答案5050，這使教師非常吃驚，那么高斯是采用了什么方法來巧妙地計(jì)算出來的呢?如果大家也懂得那樣巧妙計(jì)算，那你們就是二十世紀(jì)末的新高斯。(教師觀察學(xué)生的表情反映，然后將此問題縮小十倍)。我們來看這樣一道一例題。
例1，計(jì)算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.
這道題除了累加計(jì)算以外，還有沒有其他有趣的解法呢?小組討論后，讓學(xué)生自行發(fā)言解答。
生1:因?yàn)?+10=2+9=3+8=4+7=5+6，所以可湊成5個(gè)11，得到55。
生2：可設(shè)S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，根據(jù)加法交換律，又可寫成 S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。
上面兩式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110
10個(gè)
所以我們得到S=55，
即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
師：高斯神速計(jì)算出1到100所有自然數(shù)的各的方法，和上述兩位同學(xué)的方法相類似。
理由是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101，有50個(gè)101，所以1+2+3+......+100=50×101=5050。請同學(xué)們想一下，上面的方法用到等差數(shù)列的哪一個(gè)性質(zhì)呢?
生3：數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq.
二、教授新課(嘗試推導(dǎo))
師：如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)a1，項(xiàng)數(shù)為n，第n項(xiàng)an，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，如何來導(dǎo)出它的前n項(xiàng)和Sn計(jì)算公式呢?根據(jù)上面的例子同學(xué)們自己完成推導(dǎo)，并請一位學(xué)生板演。
生4：Sn=a1+a2+......an-1+an也可寫成
Sn=an+an-1+......a2+a1
兩式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)
n個(gè)
=n(a1+an)
所以Sn=
#FormatImgID_0#
(I)
師：好!如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，項(xiàng)數(shù)為n，則an=a1+(n-1)d代入公式(1)得
Sn=na1+
#FormatImgID_1#
d(II) 上面(I)、(II)兩個(gè)式子稱為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。公式(I)是基本的，我們可以發(fā)現(xiàn)，它可與梯形面積公式(上底+下底)×高÷2相類比，這里的上底是等差數(shù)列的首項(xiàng)a1，下底是第n項(xiàng)an，高是項(xiàng)數(shù)n。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：這些公式中出現(xiàn)了幾個(gè)量?(a1，d，n，an，Sn)，它們由哪幾個(gè)關(guān)系聯(lián)系?[an=a1+(n-1)d，Sn=
#FormatImgID_2#
=na1+
#FormatImgID_3#
d];這些量中有幾個(gè)可自由變化?(三個(gè))從而了解到：只要知道其中任意三個(gè)就可以求另外兩個(gè)了。下面我們舉例說明公式(I)和(II)的一些應(yīng)用。
三、公式的應(yīng)用(通過實(shí)例演練，形成技能)。
1、直接代公式(讓學(xué)生迅速熟悉公式，即用基本量觀點(diǎn)認(rèn)識公式)例2、計(jì)算：
(1)1+2+3+......+n
(2)1+3+5+......+(2n-1)
(3)2+4+6+......+2n
(4)1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n
請同學(xué)們先完成(1)-(3)，并請一位同學(xué)回答。
生5：直接利用等差數(shù)列求和公式(I)，得
(1)1+2+3+......+n=
#FormatImgID_4#
(2)1+3+5+......+(2n-1)=
#FormatImgID_5#
(3)2+4+6+......+2n=
#FormatImgID_6#
=n(n+1)
師：第(4)小題數(shù)列共有幾項(xiàng)?是否為等差數(shù)列?能否直接運(yùn)用Sn公式求解?若不能，那應(yīng)如何解答?小組討論后，讓學(xué)生發(fā)言解答。
生6：(4)中的數(shù)列共有2n項(xiàng)，不是等差數(shù)列，但把正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)分開，可看成兩個(gè)等差數(shù)列，所以
原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)
=n2-n(n+1)=-n
生7：上題雖然不是等差數(shù)列，但有一個(gè)規(guī)律，兩項(xiàng)結(jié)合都為-1，故可得另一解法：
原式=-1-1-......-1=-n
n個(gè)
師：很好!在解題時(shí)我們應(yīng)仔細(xì)觀察，尋找規(guī)律，往往會尋找到好的方法。注意在運(yùn)用Sn公式時(shí)，要看清等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，否則會引起錯(cuò)解。
例3、(1)數(shù)列{an}是公差d=-2的等差數(shù)列，如果a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，求a1，d，S10。
生8：(1)由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12，即a1+d=4
又∵d=-2，∴a1=6
∴S12=12 a1+66×(-2)=-60
生9：(2)由a1+a2+a3=12，a1+d=4
a8+a9+a10=75，a1+8d=25
解得a1=1，d=3 ∴S10=10a1+
#FormatImgID_7#
=145
師：通過上面例題我們掌握了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式。在Sn公式有5個(gè)變量。已知三個(gè)變量，可利用構(gòu)造方程或方程組求另外兩個(gè)變量(知三求二)，請同學(xué)們根據(jù)例3自己編題，作為本節(jié)的課外練習(xí)題，以便下節(jié)課交流。
師：(繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生，將第(2)小題改編)
�、贁�(shù)列{an}等差數(shù)列，若a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，且Sn=145，求a1，d，n
�、谌舸祟}不求a1，d而只求S10時(shí)，是否一定非來求得a1，d不可呢?引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)，用整體思想考慮求a1+a10的值。
2、用整體觀點(diǎn)認(rèn)識Sn公式。
例4，在等差數(shù)列{an}， (1)已知a2+a5+a12+a15=36，求S16;(2)已知a6=20，求S11。(教師啟發(fā)學(xué)生解)
師：來看第(1)小題，寫出的計(jì)算公式S16=
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=8(a1+a6)與已知相比較，你發(fā)現(xiàn)了什么?
生10：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18，所以S16=8×18=144。
師：對!(簡單小結(jié))這個(gè)題目根據(jù)已知等式是不能直接求出a1，a16和d的，但由等差數(shù)列的性質(zhì)可求a1與an的和，于是這個(gè)問題就得到解決。這是整體思想在解數(shù)學(xué)問題的體現(xiàn)。
師：由于時(shí)間關(guān)系，我們對等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn的運(yùn)用一一剖析，引導(dǎo)學(xué)生觀察當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是n的二次函數(shù)，那么從二次(或一次)的函數(shù)的觀點(diǎn)如何來認(rèn)識Sn公式后，這留給同學(xué)們課外繼續(xù)思考。
最后請大家課外思考Sn公式(1)的逆命題：
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若對于所有自然數(shù)n，都有Sn=
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。數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列，并說明理由。
四、小結(jié)與作業(yè)。
師：接下來請同學(xué)們一起來小結(jié)本節(jié)課所講的內(nèi)容。
生11：1、用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。
2、用所推導(dǎo)的兩個(gè)公式解決有關(guān)例題，熟悉對Sn公式的運(yùn)用。
生12：1、運(yùn)用Sn公式要注意此等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n的值。
2、具體用Sn公式時(shí)，要根據(jù)已知靈活選擇公式(I)或(II)，掌握知三求二的解題通法。
3、當(dāng)已知條件不足以求此項(xiàng)a1和公差d時(shí)，要認(rèn)真觀察，靈活應(yīng)用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，看能否用整體思想的方法求a1+an的值。
師：通過以上幾例，說明在解題中靈活應(yīng)用所學(xué)性質(zhì)，要糾正那種不明理由盲目套用公式的學(xué)習(xí)方法。同時(shí)希望大家在學(xué)習(xí)中做一個(gè)有心人，去發(fā)現(xiàn)更多的性質(zhì)，主動(dòng)積極地去學(xué)習(xí)。
本節(jié)所滲透的數(shù)學(xué)方法;觀察、嘗試、分析、歸納、類比、特定系數(shù)等。
數(shù)學(xué)思想：類比思想、整體思想、方程思想、函數(shù)思想等。
數(shù)列公式大全6
不過一般分小題、有梯度設(shè)問，往往是第1小題就是求數(shù)列的通項(xiàng)公式，難度適中，一般考生可突破，爭取分?jǐn)?shù)，而且是做第2小題的基礎(chǔ)，因此，求數(shù)列通項(xiàng)公式的解題方法、技巧，每一位考生都必須熟練掌握。求數(shù)列通項(xiàng)公式的題型很多，不同的題型有不同的解決方法。下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勄髷?shù)列通項(xiàng)公式的解題思路。
一、已知數(shù)列的前幾項(xiàng)
已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求通項(xiàng)公式。通過觀察找規(guī)律，分析出數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，從而求出通項(xiàng)公式。這種方法稱為觀察法，也即是歸納推理。
例1、求數(shù)列的通項(xiàng)公式
�。�1）0，22——1/3，32——1/4，42＋1/5……
�。�2）9，99，999，……
分析：（1）0=12——1/2，每一項(xiàng)的分子是項(xiàng)數(shù)的平方減去1，分母是項(xiàng)數(shù)加上1，n2——1/n＋1＝n——1，其實(shí)，該數(shù)列各項(xiàng)可化簡為0，1，2，3，……，易知an＝n——1。
（2）各項(xiàng)可拆成10-1，102-1，103-1，……，an＝10n——1。
此題型主要通過讓學(xué)生觀察、試驗(yàn)、歸納推理等活動(dòng)，且在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步通過比較、分析、概括、證明去揭示事物的本質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。
二、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn
已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，求通項(xiàng)公式an，主要通過an與Sn的關(guān)系轉(zhuǎn)化，即an -{ S1（n＝1） Sn -Sn——1（n≥2）
例2、已知數(shù)列{an }的前n項(xiàng)和Sn=2n+3，求an
分析：Sn=a1+a2 +……+an——1+an
Sn——1＝a1+a2 +……+an——1
上兩式相減得 Sn -Sn——1=an
解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=5
當(dāng)n≥2時(shí)，an =Sn -Sn——1=2n+3-（2n——1+3）=2n——1
∵n=1不適合上式
∴an ={5（n=1） 2n——1（n≥2）
三、已知an與Sn關(guān)系
已知數(shù)列的第n項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn間的關(guān)系：Sn=f（an），求an。一般的思路是先將Sn與an的關(guān)系轉(zhuǎn)化為an與an——1的關(guān)系，再根據(jù)與的關(guān)系特征分為如下幾種類型。不同的類型，要用不同的方法解決。
（1）an=an——1+k。數(shù)列屬等差數(shù)列，直接代公式可求通項(xiàng)公式。
例3、已知數(shù)列{an}，滿足a1=3，an=an——1+8，求an。
分析：由已知條件可知數(shù)列是以3為首項(xiàng)，8為公差的等差數(shù)列，直接代公式可求得an=8n-5。
�。�2）an=kan——1（k為常數(shù)）。數(shù)列屬等比數(shù)列，直接代公式可求通項(xiàng)公式。
例4、數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N+）
求數(shù)列{an}的`通項(xiàng)公式。
分析：根據(jù)an與Sn的關(guān)系，將an+1=2Sn+1轉(zhuǎn)化為an與an+1的關(guān)系。
解：由an+1=2Sn+1
得an=2Sn-1+1（n≥2）
兩式相減，得an+1-an=2an
∴an+1=3an （n≥2）
∵a2=2Sn+1=3
∴a2=3a1
∴{an}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列
∴an=3n-1
�。�3）an+1=an+f（n），用疊加法
思路：令n=1，2，3，……，n-1
得a2=a1+f（1）
a3=a2+f（2）
a4=a3+f（3）
……
+）an=an——1+f（n-1）
an=a1+f（1）+f（2）+…+f（n-1）
例5、若數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=an+2n
則{an}的通項(xiàng)公式=（ ）
解：∵an+1=an+2n
∴a2 =a1+2×1
a3=a2+2×2
a4=a3+2×3
……
+）an=an——1+2（n-1）
an=a1+2（1+2+3+…+n-1）
=2+2×（1+n-1）（n-1）
=n2-n+2
�。�4）an+1=f（n）an，用累積法
思路：令n=1，2，3，……，n-1
得a2 =f（1）a1 a3=f（2）a2 a4=f（3）a3
……
×）an=f（n-1）an-1
an=a1·f（1）·f（2）·f（3）……f（n-1）
例6、若數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2n+an，則an=（ ）
解：∵an+1=2nan ∴a2 =21a1
a3=22a2 a4=23a3
……
×） an=2n——1·an——1
an=2·22·23·……·2n-1a1=2n（n-1）/2
�。�5）an=pan——1+q， an=pan——1+f（n）
an+1=an+p·qn（pq≠0），
an=p（an——1）q， an+1=ran/pan+q=（pr≠0，q≠r）
�。╬、q、r為常數(shù)）
這些類型均可用構(gòu)造法或迭代法。
①an=pan——1+q （p、q為常數(shù)）
構(gòu)造法：將原數(shù)列的各項(xiàng)均加上一個(gè)常數(shù)，構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，然后，求出該等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再還原為所求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
將關(guān)系式兩邊都加上x
得an+x=Pan——1+q+x
=P（an——1 + q+x/p）
令x=q+x/p，得x=q/p-1
∴an+q/p-1=P（an——1+q/p-1）
∴{an+q/p-1}是以a1+q/p-1為首項(xiàng)，P為公比的等比數(shù)列。
∴an+q/p-1=（a1+q/p-1）Pn-1
∴an=（a1+q/p-1）Pn-1-q/p-1
迭代法：an=p（an——1+q）=p（pan-2+q）+q
=p2（（pan-3+q）+pq+q……
例7、數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2an-n（n∈N+）求an
解析：由Sn=2an-n 得Sn-1=2an-1-（n-1） （n≥2,n∈N+）
兩式相減得an=2an-1+1
兩邊加1得an+1=2（an-1+1） （n≥2，n∈N+）
構(gòu)造成以2為公比的等比數(shù)列{an+1}
②an=Pan-1+f（n）
例8、數(shù)列{an}中，a1為常數(shù)，且an=-2an-1+3n-1（≥2，n∈N）
證明：an=（-2）n-1a1+3n+（-1）n·3·2n-1/5
分析：這道題是證明題，最簡單的方法當(dāng)然是數(shù)學(xué)歸納法，現(xiàn)用構(gòu)造法和迭代法來證明。
方法一：構(gòu)造公比為-2的等比數(shù)列{an+λ·3n}
用比較系數(shù)法可求得λ=-1/5
方法二：構(gòu)造等差型數(shù)列{an/（-2）n}。由已知兩邊同以（-2）n，得an/（-2）n=an-1/（-2）n=1/3·（-3/2）n，用疊加法處理。
方法三：迭代法。
an=-2an-1+3n-1=-2（-2an-2+3n-2）+3n-1
=（-2）2an-2+（-2）·3n-2+3n-1
=（-2）2（-2an-3+3n-3）+（-2）·3n-2+3n-1
=（-2）3an-3+（-2）·3n-3+（-2）·3n-2+3n-1
=（-2）n-1a1+（-2）n-1·3+（-2）n-3·+32+……+（-2）·3n-2+3n-1
=（-2）n-1a1+3n+（-1）n-2·3·2n-1/5
�、踑n+1=λan+p·qn（pq≠0）
（�。┊�(dāng)λ=qn+1時(shí)，等式兩邊同除以，就可構(gòu)造出一個(gè)等差數(shù)列{an/qn}。
例9、在數(shù)列{an}中，a1=4，an+1+2n+1，求an。
分析：在an+1=2an+2n+1兩邊同除以2n+1，得an+1/2n+1=an/2n+1
∴{an/2n}是以a1/2=2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列。
（ⅱ）當(dāng)λ≠q時(shí)，等式兩邊同除以qn+1，令bn=an/qn，得bn+1=λ/qbn+p，再構(gòu)造成等比數(shù)列求bn，從而求出an。
例10、已知a1=1，an=3an-1+2n-1，求an
分析：從an=3an-1+2n-1兩邊都除以2n，
得an/2n=3/2 an-1/2n-1+1/2
令an/2n=bn
則bn=3/2bn-1+1/2
�、躠n=p（an——1）q（p、q為常數(shù)）
例11、已知an=1/a an——12，首項(xiàng)a1，求an。
方法一：將已知兩邊取對數(shù)
得lgan=2lgan——1-lga
令bn=lgan
得bn=2bn-1-lga，再構(gòu)造成等比數(shù)列求bn，從而求出an。
方法二：迭代法
an=1/a a2n——1=1/a （1/a a2n——2）2=1/a3 a4n——2
=1/a3 （1/a a2n——3）4=1/a7·an——38=a·（an——3/a）23
=……=a·（a1/a）2n——1
�、輆n+1=ran/pan+q（p、q、r為常數(shù)，pr≠0，q≠r）
將等式兩邊取倒數(shù)，得1/an+1=q/r·1/an+p/r，再構(gòu)造成等比數(shù)列求an。
例12、在{an}中，a1=1，an+1=an/an+2，求an
解：∵an+1=an/an+2
∴1/an+1=2·1/an+1
兩邊加上1，得1/an+1+1=2（1/an+1）
∴{1/an+1}是以1/an+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
∴ 1/an+1=2×2n-1=2n
∴an=1/2n-1
以上羅列出求數(shù)列通項(xiàng)公式的解題思路雖然很清晰，但是一般考生對第三項(xiàng)中的5種類型題用構(gòu)選法和迭代法都比較困難的。遇到此情況，可轉(zhuǎn)化為第一種類型解決，即從an與Sn的關(guān)系式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，用觀察法求an。
數(shù)列公式大全7
新課程理念倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)必須“以學(xué)生的學(xué)為本”，“以學(xué)生的發(fā)展為本”，即數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)是人的發(fā)展的“學(xué)程”設(shè)計(jì)，而不單純以學(xué)科為中心的“教程”的設(shè)計(jì)。
一、教學(xué)目標(biāo)的反思
本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)意圖：
1。進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的改善
這是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的第一課時(shí)，是實(shí)踐二期課改中研究型學(xué)習(xí)問題的很好材料，可以落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)的“提倡積極主動(dòng)，勇于探索的學(xué)習(xí)方式;強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”的理念，教與學(xué)的重心不只是獲取知識，而是轉(zhuǎn)到學(xué)會思考、學(xué)會學(xué)習(xí)上，教師注意培養(yǎng)學(xué)生以研究的態(tài)度和方式去認(rèn)真觀察、分析數(shù)學(xué)現(xiàn)象，提出新的問題，發(fā)現(xiàn)事物的內(nèi)在規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生自覺探索，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。
2。落實(shí)二期課改中的三維目標(biāo)，強(qiáng)調(diào)探究的過程和方法
“知識與技能、過程與方法、情感，態(tài)度與價(jià)值”這三維目標(biāo)是“以學(xué)生的發(fā)展為本”的教育理念在二期課改中的具體體現(xiàn)，本節(jié)課是數(shù)學(xué)公式教學(xué)課，所以強(qiáng)調(diào)學(xué)生對認(rèn)知過程的經(jīng)歷和體驗(yàn)，重視對實(shí)際問題的理解和應(yīng)用推廣，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對探究過程和方法的掌握，探究過程包括發(fā)現(xiàn)和提出問題，通過觀察、抽象、概括、類比、歸納等探究方法進(jìn)行實(shí)踐。
在此基礎(chǔ)上，根據(jù)本班學(xué)生是區(qū)重點(diǎn)學(xué)校學(xué)生，學(xué)習(xí)勤懇，平時(shí)好提問，敢于交流與表達(dá)自己想法，故本節(jié)課制定了如下教學(xué)目標(biāo)：
�。╨）、通過歷史典故引出等比數(shù)列求和問題，并在問題解決的過程中自主探索等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的`求法。
（2）、經(jīng)歷等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，了解推導(dǎo)公式所用的方法，掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，并能進(jìn)行簡單應(yīng)用。
二、教材的分析和反思：
本節(jié)課是《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式》的第一課時(shí)，之前學(xué)生已經(jīng)掌握了數(shù)列的基本概念、等差與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，對于本節(jié)課所需的知識點(diǎn)和探究方法都有了一定的儲備，新教材內(nèi)容是給出了情景問題：印度國王獎(jiǎng)賞國際象棋發(fā)明者的故事，通過求棋盤上的麥�？倲�(shù)這個(gè)問題的解決，體會由多到少的錯(cuò)位相減法的數(shù)學(xué)思想，并將其類比推廣到一般的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，最后通過一些例題幫助學(xué)生鞏固與掌
數(shù)列公式大全8
在幾個(gè)公式中，最常用的是中項(xiàng)求和公式，其次是高斯求和公式。希望同學(xué)們能對這兩個(gè)公式重點(diǎn)掌握和應(yīng)用。
常見例題解析：
例1.某劇院有25排座位，后一排比前一排多一個(gè)，第一排有10個(gè)，請問一共有多少個(gè)座位?
A. 500 B. 550 C.600 D.650
【答案】B。第一排有10人，最后一排有10+(25-1)×1=34。根據(jù)高斯求和公式得：Sn=25(10+34)÷2=550。所以選擇B。
例2.劇院當(dāng)中 共有33排，每一排比前排多2人，第一排有10人，請問該劇場共有多少人?
A.1250 B. 1386 C.1428 D.1576
【答案】B。因?yàn)橐还灿?3排，所有根據(jù)中項(xiàng)求和公式得:Sn=33a17。一定能夠被33整除，即你能背3整除又能被11整除。符合條件的只有1386。所以我們選擇B。
由于等比數(shù)列求和公式少，所以考法也相對簡單。有的時(shí)候是直接應(yīng)用公式進(jìn)行解題，有的時(shí)候只是用等比數(shù)列的思想，并不用求和公式。
常見例題解析：
例3.一種細(xì)菌分裂成第一天的兩倍，經(jīng)過20天的時(shí)間可以長滿整個(gè)培養(yǎng)皿，請問第幾天可以漲到一半?
A.10 B. 15 C.18 D.19
【答案】D。每天是頭一天的'兩倍，20天的時(shí)候長滿，則第19天的時(shí)候應(yīng)該正好長到培養(yǎng)皿的一半。所以選擇D。
例4.老師向告訴小明一個(gè)消息，用了一分鐘。事情緊急，老師和小明要不斷地給其他同學(xué)打電話告知該消息并讓知道這個(gè)消息的同學(xué)盡快把這個(gè)消息通知給其他人。班里面以公共有60個(gè)學(xué)生，請問最快需要多長時(shí)間可以讓所有人都知道該消息?
A.3 B. 4 C.5 D.6
【答案】D。一分鐘后，有老師和小明2個(gè)知道。2分鐘后有4個(gè)人知道;3分鐘后有8個(gè)人知道;4分鐘后有16個(gè)人知道;5分鐘后有32個(gè)人知道;6分鐘后有64個(gè)人知道，大于老師和60個(gè)學(xué)生的數(shù)量和61，所以6分鐘后所有人都可以知道該消息了。
這兩類數(shù)列掌握之后，做題的時(shí)候便可助你一臂之力了。
數(shù)列公式大全9
等比數(shù)列求和公式
1.等比數(shù)列通項(xiàng)公式
an=a1×q^(n-1);
推廣式：an=am×q^(n-m);
2.等比數(shù)列求和公式
Sn=n×a1(q=1);
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)=a1(q^n-1)/(q-1)(q≠1);
(q為公比，n為項(xiàng)數(shù))。
3.等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)
(1)Sn=a1+a2+a3+...+an(公比為q);
(2)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+a(n+1);
(3)Sn-q*Sn=a1-a(n+1);
(4)(1-q)Sn=a1-a1*q^n;
(5)Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q);
(6)Sn=(a1-an*q)/(1-q);
(7)Sn=a1(1-q^n)/(1-q);
(8)Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)。
拓展閱讀：等比數(shù)列的性質(zhì)
(1)若m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，則am×an=ap×aq。
(2)在等比數(shù)列中，依次每k項(xiàng)之和仍成等比數(shù)列。
(3)若“G是a、b的等比中項(xiàng)”則“G2=ab(G≠0)”。
(4)若{an}是等比數(shù)列，公比為q1，{bn}也是等比數(shù)列，公比是q2，則{a2n}，{a3n}…是等比數(shù)列，公比為q1^2，q1^3…{can}，c是常數(shù)，{an×bn}，{an/bn}是等比數(shù)列，公比為q1，q1q2，q1/q2。
(5)若(an)為等比數(shù)列且各項(xiàng)為正，公比為q，則(log以a為底an的對數(shù))成等差，公差為log以a為底q的對數(shù)。
(6)等比數(shù)列前n項(xiàng)之和。
在等比數(shù)列中，首項(xiàng)A1與公比q都不為零。
注意：上述公式中An表示A的n次方。
(7)由于首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列的.通項(xiàng)公式可以寫成an=(a1/q)×qn，它的指數(shù)函數(shù)y=ax有著密切的聯(lián)系，從而可以利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來研究等比數(shù)列。
數(shù)列公式大全10
在高一（5）班上好“等差數(shù)列求和公式”這一堂課后，通過和學(xué)生的互動(dòng)，我對求和公式上課時(shí)遇到的幾點(diǎn)問題提出了一點(diǎn)思考：
一、對內(nèi)容的理解及相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計(jì)
1、“數(shù)列前n項(xiàng)的和”是針對一般數(shù)列而提出的一個(gè)概念，教材在這里提出這個(gè)概念只是因?yàn)楸竟?jié)內(nèi)容首次研究數(shù)列前n項(xiàng)和的問題。因此，教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)注意“從等差數(shù)列中跳出來”學(xué)習(xí)這個(gè)概念，以免學(xué)生誤認(rèn)為這只是等差數(shù)列的一個(gè)概念。
2、等差數(shù)列求和公式的教學(xué)重點(diǎn)是公式的推導(dǎo)過程，從“掌握公式”來解釋，應(yīng)該使學(xué)生會推導(dǎo)公式、理解公式和運(yùn)用公式解決問題。其實(shí)還不止這些，讓學(xué)生體驗(yàn)推導(dǎo)過程中所包含的數(shù)學(xué)思想方法才是更高境界的教學(xué)追求，這一點(diǎn)后面再作展開。本節(jié)課在這方面有設(shè)計(jì)、有突破，但教師組織學(xué)生討論與交流的環(huán)節(jié)似乎還不夠充分，因?yàn)檫@個(gè)層面上的學(xué)習(xí)更側(cè)重于讓學(xué)生“悟”。
3、用公式解決問題的內(nèi)容很豐富。本節(jié)課只考慮“已知等差數(shù)列，求前n項(xiàng)”的問題，使課堂不被大量的變式問題所困擾，而能專心將教學(xué)的重點(diǎn)放在公式的推導(dǎo)過程。這樣的處理比較恰當(dāng)。
二、求和公式中的數(shù)學(xué)思想方法
在推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的過程中，有兩種極其重要的數(shù)學(xué)思想方法。一種是從特殊到一般的探究思想方法，另一種是從一般到特殊的化歸思想方法。
從特殊到一般的探究思想方法大家都很熟悉，本節(jié)課基本按教材的設(shè)計(jì)，依次解決幾個(gè)問題。
從一般到特殊的化歸思想方法的揭示是本節(jié)課的最大成功之處。以往人們常常只注意到“倒序相加”是推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的關(guān)鍵，而忽視了對為什么要這樣做的思考。同樣是求和，與的本質(zhì)區(qū)別是什么？事實(shí)上，前者是100個(gè)不相同的數(shù)求和，后者是50個(gè)相同數(shù)的求和，求和的`本質(zhì)區(qū)別并不在于是100個(gè)還是50個(gè)，而在于“相同的數(shù)”與“不相同的數(shù)”。相同的數(shù)求和是一個(gè)極其簡單并且在乘法中早已解決了的問題，將不“相同的數(shù)求和”（一般）化歸為“相同數(shù)的求和”（特殊），這就是推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的思想精髓。不僅如此，將一般的求和問題化歸為我們會求（特殊）的求和問題這種思想還將在以后的求和問題中反復(fù)體現(xiàn)。
在等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程中，其實(shí)有這樣一個(gè)問題鏈：
為什么要對和式分組配對？（因?yàn)橄朕D(zhuǎn)化為相同數(shù)求和）
為什么要“倒序相加”？（因?yàn)榭梢员苊忭?xiàng)數(shù)奇偶性討論）
為什么“倒序相加”能轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和？（因?yàn)榈炔顢?shù)列性質(zhì)）
由此可見，“倒序相加”只是一種手段和技巧，轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和是解決問題的思想，等差數(shù)列自身的性質(zhì)是所采取的手段能達(dá)到目的的根本原因。
三、幾點(diǎn)看法
1、注意挖掘基礎(chǔ)知識的教學(xué)內(nèi)涵
對待概念、公式等內(nèi)容，如果只停留在知識自身層面，那么教學(xué)常常會落入死記硬背境地。其實(shí)越是基礎(chǔ)的東西其所包含的思想方法往往越深刻，值得大家?guī)ьI(lǐng)學(xué)生去認(rèn)真體驗(yàn)，當(dāng)然這樣的課不好上。
2、用好教材
現(xiàn)在的教材有不少好的教學(xué)設(shè)計(jì)，需要教師認(rèn)真對待，反復(fù)領(lǐng)會教材的意圖。當(dāng)然，由于教材的客觀局限性，還需要教師去處理教材。譬如本節(jié)課，課堂所呈現(xiàn)的基本上是教材的內(nèi)容順序和教學(xué)設(shè)計(jì)，但面對教材所給的全部內(nèi)容時(shí)，課堂能否在某個(gè)環(huán)節(jié)上停下來，能否合理地選取教材的一部分內(nèi)容作為這一節(jié)課的內(nèi)容，而將其他的內(nèi)容留到后面的課，這就體現(xiàn)教師的認(rèn)識和處理教材的水平。
3、學(xué)無止境
一堂課所要追求的教學(xué)價(jià)值當(dāng)然是盡量能多一些更好，但應(yīng)分清主次。譬如本節(jié)課還用了幾個(gè)“實(shí)際生活問題”，意圖是明顯的，教師的提問和處理也比較恰當(dāng)。課沒有最好只有更好！
數(shù)列公式大全11
嚴(yán)老師的課堂最大的亮點(diǎn)就是師生互動(dòng)如行云流水，如春風(fēng)拂面，如魚翔淺底，輕松活潑，而又不乏智慧的光芒，學(xué)生參與熱情高，學(xué)習(xí)氛圍好。這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)就是讓學(xué)生通過對例題及其變式的思考，體會“利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式”的方法（如定義法、累加法、待定系數(shù)法等）和化歸思想 。其實(shí)，此類問題既是數(shù)列教學(xué)中的難點(diǎn)問題，也是江蘇高考的.熱點(diǎn)問題�？傮w而言，在嚴(yán)老師的引導(dǎo)下，學(xué)生基本達(dá)成了教學(xué)目標(biāo)，高一學(xué)生能做到這一點(diǎn)已經(jīng)難能可貴了。筆者建議，是不是可以突破例題和練習(xí)的界限，進(jìn)行如下的教學(xué)設(shè)計(jì)：
在數(shù)列中，已知，其前項(xiàng)和為，根據(jù)下列條件，分別求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
教師一定要敢于放開手讓學(xué)生去思考，去板演，看看他（她）有什么想法，或者有什么困惑，然后再讓學(xué)生進(jìn)行交流，教師要做的就是引導(dǎo)、點(diǎn)評和總結(jié)。學(xué)生有了這樣的經(jīng)歷和體驗(yàn)之后，對問題的認(rèn)識和理解應(yīng)該會更深刻。另外，對累加法的應(yīng)用，筆者認(rèn)為還是化成差的形式，即“ ”操作起來更方便一些。以上只是個(gè)人的一點(diǎn)不成熟的想法，請大家批評指正。
數(shù)列公式大全12
一、高考數(shù)列基本公式：
1、一般數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系：an=
2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)) 當(dāng)d≠0時(shí)，an是關(guān)于n的一次式；當(dāng)d=0時(shí)，an是一個(gè)常數(shù)。
3、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0；當(dāng)d=0時(shí)（a1≠0），Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。
4、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式： an= a1qn-1an= akqn-k
(其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)，an≠0)
5、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n a1 (是關(guān)于n的正比例式)；
當(dāng)q≠1時(shí)，
二、高考數(shù)學(xué)中有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論
1、等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍為等差數(shù)列。
4、等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的.和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍為等比數(shù)列。
5、兩個(gè)等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數(shù)列。
6、兩個(gè)等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列
7、等差數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。
8、等比數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。
9、三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的設(shè)法：a-d,a,a+d；四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
10、三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法：a/q,a,aq；
四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法：a/q3,a/q,aq,aq3 (為什么？)
12、{bn}（bn>0）是等比數(shù)列，則{logcbn} (c>0且c≠1) 是等差數(shù)列。
數(shù)列公式大全13
等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)過程：
設(shè)首項(xiàng)為a1 ,末項(xiàng)為an ,項(xiàng)數(shù)為n ,公差為d ,前n項(xiàng)和為Sn ,則有:Sn=(a1+an)n/2 ;Sn=na1+n(n-1)d/2(d為公差)
當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是n的二次函數(shù)，(n，Sn)是二次函數(shù)的圖象上一群孤立的點(diǎn)。利用其幾何意義可求前n項(xiàng)和Sn的最值。
注意：公式一二三事實(shí)上是等價(jià)的`，在公式一中不必要求公差等于一。
求和推導(dǎo)證明：由題意得：Sn=a1+a2+a3+...+an①
Sn=an+a(n-1)+a(n-2)+...+a1②
①+②得：2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](當(dāng)n為偶數(shù)時(shí))
Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2
Sn=n(A1+An)/2 (a1，an，可以用a1+(n-1)d這種形式表示可以發(fā)現(xiàn)括號里面的數(shù)都是一個(gè)定值，即(A1+An)
拓展閱讀：等比數(shù)列的五個(gè)基本公式
(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是：
An=A1×q^(n-1)
若通項(xiàng)公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當(dāng)q>0時(shí)，則可把a(bǔ)n看作自變量n的函數(shù)，點(diǎn)(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點(diǎn)。
(2)任意兩項(xiàng)am，an的關(guān)系為an=am·q^(n-m)
(3)從等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式可以推出：
a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
(4)等比中項(xiàng)：aq·ap=ar^2，ar則為ap，aq等比中項(xiàng)。
(5)等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an
�、佼�(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)
�、诋�(dāng)q=1時(shí)，Sn=n×a1(q=1)
記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
數(shù)列公式大全14
等比數(shù)列求和公式
q≠1時(shí)，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)
q=1時(shí)，Sn=na1
(a1為首項(xiàng),an為第n項(xiàng),d為公差,q為等比)
這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比數(shù)列a1≠ 0。注：q=1時(shí)，{an}為常數(shù)列。利用等比數(shù)列求和公式可以快速的`計(jì)算出該數(shù)列的和。
等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)
Sn=a1+a2+a3+...+an(公比為q)
qSn=a1q + a2q + a3q +...+ anq = a2+ a3+ a4+...+ an+ a(n+1)
Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)
a(n+1)=a1qn
Sn=a1(1-qn)/(1-q)(q≠1)
數(shù)列公式大全15
等差數(shù)列
對于一個(gè)數(shù)列{a n }，如果任意相鄰兩項(xiàng)之差為一個(gè)常數(shù)，那么該數(shù)列為等差數(shù)列，且稱這一定值差為公差,記為 d ;從第一項(xiàng) a 1 到第n項(xiàng) a n 的總和，記為 S n 。
那么 ， 通項(xiàng)公式為，其求法很重要，利用了“疊加原理”的思想：
將以上 n-1 個(gè)式子相加， 便會接連消去很多相關(guān)的項(xiàng) ，最終等式左邊余下a n ,而右邊則余下 a1和 n-1 個(gè)d,如此便得到上述通項(xiàng)公式。
此外， 數(shù)列前 n 項(xiàng)的和，其具體推導(dǎo)方式較簡單，可用以上類似的疊加的`方法，也可以采取迭代的方法，在此，不再復(fù)述。
值得說明的是，，也即，前n項(xiàng)的和Sn 除以 n 后，便得到一個(gè)以a 1 為首項(xiàng)，以 d /2 為公差的新數(shù)列，利用這一特點(diǎn)可以使很多涉及Sn 的數(shù)列問題迎刃而解。
等比數(shù)列
對于一個(gè)數(shù)列 {a n }，如果任意相鄰兩項(xiàng)之商(即二者的比)為一個(gè)常數(shù)，那么該數(shù)列為等比數(shù)列，且稱這一定值商為公比 q ;從第一項(xiàng) a 1 到第n項(xiàng) a n 的總和，記為 T n 。
那么， 通項(xiàng)公式為(即a1 乘以q 的 (n-1)次方，其推導(dǎo)為“連乘原理”的思想：
a 2 = a 1 *q,
a 3 = a 2 *q,
a 4 = a 3 *q,
````````
a n = a n-1 *q,
將以上(n-1)項(xiàng)相乘，左右消去相應(yīng)項(xiàng)后，左邊余下a n , 右邊余下 a1 和(n-1)個(gè)q的乘積，也即得到了所述通項(xiàng)公式。
此外， 當(dāng)q=1時(shí) 該數(shù)列的前n項(xiàng)和 Tn=a1*n
當(dāng)q≠1時(shí) 該數(shù)列前n 項(xiàng)的和 T n = a1 * ( 1- q^(n)) / (1-q).
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