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有效運(yùn)用數(shù)學(xué)建模拓展數(shù)學(xué)教學(xué)的論文
在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)模型方法，揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，在接替過(guò)程中引發(fā)與選擇思維方向，都具有很大的啟發(fā)性。所以我們應(yīng)當(dāng)在教學(xué)中幫助學(xué)生逐步建構(gòu)模型、應(yīng)用模型，就是要求教師致力于數(shù)學(xué)建模的引領(lǐng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，從而取得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。它是把“創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)”納入數(shù)學(xué)教育的一種可行手段。
正如弗賴登塔爾所認(rèn)為的：“學(xué)生自己發(fā)明數(shù)學(xué)就會(huì)學(xué)得更好”，“讓他們經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程，這是教學(xué)的第一原則”。
一、建模的策略
1、精選問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)建模的興趣。
數(shù)學(xué)模型都是具有現(xiàn)實(shí)的生活背景的，這是構(gòu)建模型的基礎(chǔ)和解決實(shí)際問(wèn)題的需要。如構(gòu)建“平均數(shù)”模型時(shí)，可以創(chuàng)設(shè)這樣的情境：4名男生一組，5名女生一組，進(jìn)行套圈游戲比賽，哪個(gè)組的套圈水平高一些？學(xué)生提出了一些解決的方法，如比較每組的總分、比較每組中的最好成績(jī)等，但都遭到了否決。這時(shí)“平均數(shù)”的策略應(yīng)需而生，構(gòu)建“平均數(shù)”的模型成為了學(xué)生的需求，同時(shí)也揭示了模型存在的背景、適用環(huán)境、條件等。
2、充分感知，積累表象，培育建模的基礎(chǔ)。
數(shù)學(xué)模型關(guān)注的對(duì)象是許多具有共同普遍性的一類事物，因此教師首先要給學(xué)生提供豐富的感性材料，多側(cè)面、多維度、全方位感知這類事物的特征或數(shù)量相依關(guān)系，為數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確構(gòu)建提供可能。如一年級(jí)“湊十法”模型構(gòu)建的過(guò)程就是一個(gè)不斷感知、積累的過(guò)程。首先通過(guò)探究學(xué)習(xí)9加幾的算法，初步了解湊十法；接著采取半扶半放的方式學(xué)習(xí)“8、7加幾”的算法，進(jìn)一步感知湊十法更廣的適用范圍；最后，學(xué)習(xí)6、5、4加幾，運(yùn)用湊十法靈活解決相關(guān)計(jì)算問(wèn)題。學(xué)生經(jīng)歷了觀察、操作、實(shí)踐、討論，體驗(yàn)到了“湊十法”的內(nèi)涵，為形成“湊十法”的模型奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，提供了充分的準(zhǔn)備。
3、組織躍進(jìn)，抽象本質(zhì)，完成模型的構(gòu)建。
實(shí)現(xiàn)通過(guò)生活向抽象數(shù)學(xué)模型的有效過(guò)渡，是數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)之一。具體生動(dòng)的情境問(wèn)題只是為學(xué)生數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)提供了可能，如果忽視從具體到抽象的躍進(jìn)過(guò)程的有效組織，那就不成其為建模。如四年級(jí)上冊(cè)“平行與相交”，如果只是讓學(xué)生感知火車鐵軌、跑道線、雙杠、五線譜等具體的素材，而沒(méi)有透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的過(guò)程，當(dāng)學(xué)生提取“平行線”的模型時(shí)，呈現(xiàn)出來(lái)的一定是形態(tài)各異的具體事物，而不是具有一般意義的數(shù)學(xué)模型。而“平行”的數(shù)學(xué)本質(zhì)是“同一平面內(nèi)兩條直線間距離保持不變”，教師應(yīng)將學(xué)生關(guān)注的目標(biāo)從具體上升為兩條直線及直線間的寬度（距離）�？梢宰寣W(xué)生通過(guò)如下活動(dòng)來(lái)組織躍進(jìn)過(guò)程：
�。�1）提出問(wèn)題：為什么兩條直線永遠(yuǎn)不相交呢？
�。�2）動(dòng)手實(shí)驗(yàn)思考：在兩條平行線間作垂線。量一量這些垂線的長(zhǎng)度，你發(fā)現(xiàn)了什么？你知道工人師傅是通過(guò)什么辦法使兩條鐵軌始終保持平行的嗎？
經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生對(duì)平行的理解必定走向半具體半抽象的模型，從而構(gòu)建起真正的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)。在這一過(guò)程的組織中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)比較、分析、綜合、歸納、操作等思維活動(dòng)，將本質(zhì)屬性抽取出來(lái)，構(gòu)成研究對(duì)象本質(zhì)的關(guān)鍵特征，使平行線完成從物理模型到直觀的數(shù)學(xué)模型，再到抽象的數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過(guò)程。
4、重視思想，提煉方法，優(yōu)化建模的過(guò)程。
不管是數(shù)學(xué)概念的建立、數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)還是數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，核心問(wèn)題都在于數(shù)學(xué)思維方法的建立，它是數(shù)學(xué)模型存在的靈魂。如《圓柱的體積》教學(xué)，在建構(gòu)體積公式這一模型的過(guò)程中要突出與之相伴的“數(shù)學(xué)思想方法”的建模過(guò)程。一是轉(zhuǎn)化，這與以前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)相一致，是將未知轉(zhuǎn)化成已知；二是極限思想，這與把一個(gè)圓形轉(zhuǎn)化為一個(gè)長(zhǎng)方形類似，是在眾多表面上形態(tài)各異的思維策略背后蘊(yùn)藏的共同的具有更高概括意義的數(shù)學(xué)思想方法。重視數(shù)學(xué)思想方法的提煉與體驗(yàn)，可以催化數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，提升建構(gòu)的理性高度。 5、回歸生活，變換情境，拓展模型的外延。
人的認(rèn)識(shí)過(guò)程是由感性到理性再到感性循環(huán)往復(fù)、螺旋上升的過(guò)程。從具體的問(wèn)題經(jīng)歷抽象提煉初步構(gòu)建起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并不是學(xué)生認(rèn)識(shí)的終結(jié)，還要組織學(xué)生將數(shù)學(xué)模型還原為具體的數(shù)學(xué)直觀或可感的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，使已經(jīng)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型不斷得以擴(kuò)充和提升。如初步建立起來(lái)的“雞兔同籠”問(wèn)題模型，它是通過(guò)“雞”、“兔”來(lái)研究問(wèn)題、解決問(wèn)題從而建立起來(lái)的。但建立模型的過(guò)程中不可能將所有的同類事物列舉窮盡，教師要帶領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)擴(kuò)展考察的范圍，分析當(dāng)情境數(shù)據(jù)變化時(shí)所得模型是否穩(wěn)定。可以出示如下問(wèn)題讓學(xué)生分析：
9張桌子共26人，正在進(jìn)行乒乓球單打、雙打比賽，單打、雙打的各幾張桌子？”“甲、乙兩個(gè)車間共126人，如果從甲車間每8人中選一名代表，從乙車間每6人中選一名代表，正好選出17名代表。甲、乙兩車間各有多少人？”……這樣，便可使模型不斷得以豐富和拓展。
二、拓寬建模的途徑
開(kāi)展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，關(guān)注的是建模的過(guò)程而不僅僅是結(jié)果，更多的是培養(yǎng)思維能力，特別是創(chuàng)造能力。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要轉(zhuǎn)變觀念，革新課堂教學(xué)模式，以“建�！钡囊暯莵�(lái)處理教學(xué)內(nèi)容。
1、根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，開(kāi)展建�；顒�(dòng)。
教材中的一些內(nèi)容已經(jīng)考慮按照建模的思路編排，教師要多從建模的角度解讀教材，充分挖掘教材中蘊(yùn)含的建模思想，精心設(shè)計(jì)和選擇列入教學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境，使學(xué)生從中獲得“搜集信息，將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，建立模型，解答問(wèn)題，從而解決問(wèn)題”的體驗(yàn)。
2、上好實(shí)踐活動(dòng)課，為學(xué)生模仿建模甚至獨(dú)立建模提供有效指導(dǎo)。
重點(diǎn)應(yīng)放在對(duì)問(wèn)題背景、問(wèn)題條件的考察以及模型建立過(guò)程的引導(dǎo)與分析上，力圖使學(xué)生弄清其中所蘊(yùn)涵的思維方式與方法。可以結(jié)合教材內(nèi)容，適當(dāng)對(duì)各種知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合，并使之融進(jìn)生活背景，生產(chǎn)出好的“建模問(wèn)題”作為實(shí)踐活動(dòng)課的內(nèi)容。如蘇教版六（上）安排了這樣的問(wèn)題：找10盒火柴，先在小組里拼一拼，看看把10盒火柴包裝成一包有哪些不同的方法、怎樣包裝最節(jié)省包裝紙。
3、改編教材習(xí)題，放大功能，使建模教學(xué)成為一種自覺(jué)行為。
教材上許多應(yīng)用題已不是實(shí)際問(wèn)題的原形，可以根據(jù)需要對(duì)一些題目進(jìn)行開(kāi)發(fā)，使其成為建模的有效素材。如將教材“從一點(diǎn)畫(huà)一條已知直線的垂線”的內(nèi)容改成：“從某村莊修一條到河邊的小路，怎樣最近？”再如教材中“正方形面積是8平方厘米，求其內(nèi)接圓的面積”，如果只是一做了事，那么它的價(jià)值就不能完全體現(xiàn)出來(lái)�？梢岳盟_(kāi)展建模活動(dòng)：可以設(shè)圓的半徑是r，探討出圓的面積與正方形面積之間的關(guān)系：πr2/4r2=π/4，從而建立起關(guān)系模型，進(jìn)而解決問(wèn)題；也可以另辟蹊徑，先通過(guò)“圓內(nèi)接正方形面積是6平方厘米，求圓的面積”這一問(wèn)題的解決，建立模型，圓的面積是正方形面積的 倍。再將原問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而獲得解決。
學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型的方法需要經(jīng)歷一個(gè)長(zhǎng)期的、不斷積累經(jīng)驗(yàn)、不斷深化的過(guò)程，需要教師在教學(xué)的實(shí)踐中結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)反復(fù)孕育，讓學(xué)生親身經(jīng)歷建模過(guò)程。
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