探索，猜想，論證

小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，是一種復(fù)雜的、有規(guī)律的、在教師引導(dǎo)下的認識過程。在教學(xué)中，可以結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容，根據(jù)認知發(fā)生原理，按照“實驗探索——猜想論證——應(yīng)用推廣”這一人類掌握數(shù)學(xué)的思維活動序列設(shè)計教學(xué)程序。現(xiàn)以“方圓率”一節(jié)練習(xí)課為例，談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計。

一、實驗探索

愛因斯坦說過，提出一個問題，往往比解決一個問題更為重要。在教學(xué)中，教師首先應(yīng)該注意創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生帶著疑問積極思維，去“實驗”、去“探索”、去“發(fā)現(xiàn)”……。例如在講授“方圓率”時，教師可設(shè)計以下步驟引導(dǎo)學(xué)生進行探索發(fā)現(xiàn)。

1.設(shè)疑引思

（1）右圖正方形的面積是25平方厘米，求圖中陰影部分的面積。附圖{圖}

學(xué)生根據(jù)5×5＝25，可得知正方形邊長是5厘米，同時還知圓的直徑也是5厘米，于是圓的面積、陰影部分的面積均可求出。

（2）如果右上圖正方形的面積是10平方厘米，求陰影部分的面積。

此題用上面的方法無法求出正方形的邊長（圓的直徑），也就是說在小學(xué)生現(xiàn)有的知識庫中，無法找到現(xiàn)成的解答方法。怎么辦呢？這時教師可引導(dǎo)學(xué)生另辟蹊徑。

2.實驗探索

組織學(xué)生按下面步驟進行實驗探究。

（1）計算全班分成四個小組，分別依次計算出邊長是1、2、3、4、5、6、7、8、9厘米的正方形面積和直徑是1、2、3、4、5、6、7、8、9厘米的圓的面積，以及圓面積與正方形面積的百分比。

（2）匯報請各組選出代表匯報計算結(jié)果，并填好下表。

直徑12345圓形面積0.7853.147.06512.5619.625邊長12345正方形面積1491625圓面積占正方形面積的百分比78.5%78.5%78.5%78.5%78.5%直徑6789……圓形面積28.2638.46550.2463.585……邊長6789……正方形面積36496481……圓面積占正方形面積的百分比78.5%78.5%78.5%78.5%……

（3）觀察觀察比較上表，學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)：如果圓的直徑和正方形的邊長相等，那么當π取3.14時，圓面積占正方形面積的百分比均為78.5％。

二、猜想論證

數(shù)學(xué)方法理論的倡導(dǎo)者G.波利亞曾說過，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，猜想是合理的、值得尊重的，是負責(zé)任的態(tài)度。他認為，在有些情況下，教猜想比教證明更為重要。他說，如果在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時還有數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)方面的什么事情可以做的話，就必須使學(xué)生有個提問題的機會，在這些問題中他得在一定水平上，首先是猜想，然后是證實一個數(shù)學(xué)事實。然而普通教科書不提供那樣的機會。所以，在教學(xué)中當學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)問題后，還要按照“問題→反復(fù)思索→聯(lián)想、頓悟→提出假說→驗證結(jié)論”這個數(shù)學(xué)猜想的思維模式進行教學(xué)。例如教師在學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)問題的基礎(chǔ)上，可引導(dǎo)他們對上面的發(fā)現(xiàn)進行反復(fù)思索、分析概括，并由“圓周率”通過聯(lián)想、頓悟后提出有關(guān)“方圓率”的猜想：如果圓的直徑和正方形的邊長相等，那么圓面積占正方形面積的比是一個固定的數(shù)。

最后再啟發(fā)學(xué)生對這一猜想進行論證（直觀的驗證或邏輯的證明），使他們真正理解“方圓率”。

a設(shè)正方形的邊長為a，則面積為S[,正]＝a[2]；圓的半徑為─，則2a圓的面積為S[,圓]＝（─）[2]π。2aa[2]（─）[2]π──πS[,圓]24πS[,圓]π因為───＝──────＝────＝─，所以───＝─，證畢。S[,正]a[2]a[2]4S[,正]4

三、應(yīng)用推廣

“讀書是學(xué)習(xí)，使用也是學(xué)習(xí)，而且是更重要的學(xué)習(xí)�！苯虒W(xué)中，當學(xué)生理解了所學(xué)的知識以后，教師還要引導(dǎo)他們將所學(xué)的東西用心消化，吸收到自己的知識系統(tǒng)中，吸收到學(xué)習(xí)者的整體智力結(jié)構(gòu)中，使得這些知識能在更廣泛的情境中得到應(yīng)用和擴展。例如學(xué)生理解了“方圓率”以后，可設(shè)計出以下不同層次的練習(xí)題啟發(fā)學(xué)生回答，這樣可深化他們對知識的理解與掌握，培養(yǎng)了創(chuàng)造能力。

1.基本訓(xùn)練

已知右圖正方形面積是10平方厘米，求陰影部分面積。附圖{圖}

學(xué)生依據(jù)上面的規(guī)律，便可進行如下計算。附圖{圖}

2.變式訓(xùn)練

（1）用硬紙做一個邊長為10厘米的正方形和一個直徑為10厘米的圓，再將圓剪成兩個半圓。

①引導(dǎo)學(xué)生用兩個半圓在正方形里擺各種圖形。如：附圖{圖}

②啟發(fā)學(xué)生討論，總結(jié)出求圖中陰影部分面積的方法：πS[,陰]＝S[,正]×（1－──）。

（2）用硬紙做一個邊長為10厘米的正方形

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