十字相乘法分解因式初探論文

　　在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式的常用方法有好多種初中數(shù)學(xué)論文初中數(shù)學(xué)論文，其中十字相乘法是常用的方法之一。但對(duì)于有些多項(xiàng)式直接應(yīng)用這種方法是行不通的。本文給出了通過(guò)變形而轉(zhuǎn)化為直接應(yīng)用這種方法的幾類(lèi)多項(xiàng)式。

　　一、可化為二次三項(xiàng)式的多項(xiàng)式

　　可化為二次三項(xiàng)式的多項(xiàng)式用十字相乘法分解因式比其他方法有規(guī)律，所以簡(jiǎn)便論文開(kāi)題報(bào)告范文免費(fèi)。舉例說(shuō)明如下：

　　例1、把多項(xiàng)式a2x3+a(2a+1)x2+a(a+2)x+a+1分 解因式。

　　這是含有兩個(gè)字母的高次多項(xiàng)式初中數(shù)學(xué)論文初中數(shù)學(xué)論文，由觀察知，該多項(xiàng)式具有可化為關(guān)于a的二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)初中數(shù)學(xué)論文初中數(shù)學(xué)論文，故重新組合后用此法分解。

　　解：a2x3+a(2a+1)x2+a(a+2)x+a+1

　　化為關(guān)于a的二次三項(xiàng)式 (x3+2x2+x)a2+(x2+2x+1)a+1

　　=x(x+1)2a2+(x+1)2a+1

　　x(x+1) 1

　　x+11

　　=[x(x+1)a+1][(x+1)a+1]

　　=(ax2+ax+1)(ax+a+1).

　　例2、把多項(xiàng)式ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)分解因式。

　　這是輪換對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，乘開(kāi)后可化為關(guān)于a或b或c的二次三項(xiàng)式。用十字相乘法分解因式就避免了用其他方法分解的繁難。

　　解:ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)

　　化為關(guān)于c的 二次三項(xiàng)式 (a-b)c2-(a2-b2)c+ab(a-b)

　　=(a-b)[c2-(a+b)c+ab]

　　=(a-b)(c-a)(c-b).

　　例3 把多項(xiàng)式 (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)-3y4分解因式

　　將該式化為關(guān)于多項(xiàng)式x2+5xy+4y2 的二次三項(xiàng)式初中數(shù)學(xué)論文初中數(shù)學(xué)論文，分解更為簡(jiǎn)便.

　　解：(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)-3y4

　　=(x2+5xy+4y2)2+2y2(x2+5xy+4y2)-3y4

　　=[( x2+5xy+4y2)+ 3y2][(x2+5xy+4y2)-y2]

　　=(x2+5xy+7y2) (x2+5xy+3y2).

　　例4 把多項(xiàng)式a4+b4+c4+2a2b2++2b2c2+2c2a2分解因式。

　　解: a4+b4+c4+2a2b2++2b2c2+2c2a2

　　化為關(guān)于a2的二次三項(xiàng)式a4+2(b2+c2)a2+(b4+2b2c2+c4)

　　=a4+2(b2+c2)a2+(b2+c2)2

　　=(a2+b2+c2)2

　　本例說(shuō)明某些齊次式也可用這種方法分解因式。

　　二、二元二次多項(xiàng)式（注）（三元二次齊次式）

　　二元二次多項(xiàng)式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)若能分解因式，則可分解為a1x+b1y+c1與a2x+b2y+c2的積論文開(kāi)題報(bào)告范文免費(fèi)。由待定系數(shù)法得a=a1a2, c=b1b2,f=c1c2, b=a1b2+a2b1,d=a1c2+a2c1, e=b1c2+b2c1.于是初中數(shù)學(xué)論文初中數(shù)學(xué)論文，由十字相乘法得

　　二次項(xiàng)ax2+bxy+cy2=(a1x+b1y)(a2x+b2y).

　　關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+dx+f=(a1x+c1)(a2x+c2)

　　關(guān)于y的二次三項(xiàng)式cy2+ey+f=(b1y+c1)(b2y+c2)

　　上述三式的因式分解可以表述成

　　a1b1 c1

　　a2 b2c2

　　由此，一個(gè)二元二次多項(xiàng)式如果系數(shù)間有上述關(guān)系，可用此法分解因式。

　　例1、把 2x2-7xy-22y2-5x+35y-3分解因式。

　　解： 2x2-7xy-22y2-5x+35y-3

　　2 -111

　　12-3

　　=(2x-11y+1)(x+2y-3).

　　三元二次齊次式中，如果將第三個(gè)元看成常（系）數(shù)，也可用上述方法分解因式。

　　例2、把 2x2-3xy-5y2-11xz+31yz-6z2分解因式。

　　解：2x2-3xy-5y2-11xz+31yz-6z2

　　2-5z

　　1 1-6z

　　=(2x-5y+z)(x+y-6z).

　　[注] 二元二次多項(xiàng)式的因式分解也可以用一中講的方法去做。

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