2013考研數(shù)學(xué) 無(wú)窮小的階與應(yīng)用

微積分還有一個(gè)名稱(chēng)，叫“無(wú)窮小分析”。

　　兩個(gè)無(wú)窮小的商求極限，既是典型的未定式計(jì)算，又有深刻的理論意義。即“無(wú)窮小的比較”。

　　如果商的極限為1，則分子分母為等價(jià)無(wú)窮小。極限為0 ，分子是較分母高階的無(wú)窮小。極限為其它實(shí)數(shù)，分子分母為同階無(wú)窮小。

　　為了考試，要盡可能記住一些常用的等價(jià)無(wú)窮小。

　　利用 Δy ~ d y （數(shù)學(xué)一，二用泰勒公式）生成等價(jià)無(wú)窮小 ——

·  當(dāng) f ′（x0）≠ 0 時(shí) ，Δy ~ d y ，在原點(diǎn)計(jì)算Δy和d y ，得到常用的4個(gè)等價(jià)無(wú)窮小

·  sin x ~ x ； ln（1+x）~ x ；e xp（x）-1 ~ x  ；√（1+ x）-1 ~ x ∕ 2

·  最好再記住    1-cos x ~ x ∕ 2        （e xp（x）記以e為底的指數(shù)函數(shù)）

　　等價(jià)無(wú)窮小的復(fù)合拓展 ——

　　x→0 時(shí)，α (x)是無(wú)窮小，則 sin α (x) ~α (x) ； ln（1+α (x)）~ α (x) ，……

·  標(biāo)準(zhǔn)階無(wú)窮小與無(wú)窮小的階 ——

　　高等微積分中，把 x→0（或0+）時(shí)，冪函數(shù)  y = （x的次方） 稱(chēng)為 階無(wú)窮小。與它同階的無(wú)窮小，都是階無(wú)窮小。于是，常用的1階無(wú)窮小有， 

·   x ， sin x  ， tg x  ， arcsin x  ， arctg x  ， e xp（x）-1

　　常用的2 階無(wú)窮小有  1- cos x 

　　等價(jià)無(wú)窮小的差為高階無(wú)窮小 ——

·  值得記一記的有（常見(jiàn)的三階無(wú)窮小）  x sin x  ~  x   / 6  

·   x lnx（1+ x）~  x / 2    ，   exp（x）-（1 + x） ~ x/2！ ，……

·  不同階的有限個(gè)無(wú)窮小的線(xiàn)性組合是無(wú)窮小。（“多項(xiàng)式型無(wú)窮小”。）它與其中最低階的那個(gè)無(wú)窮小同階。

　　比如            y = ln（1+x）+ 1-cos x  是1 階無(wú)窮小

　　再?gòu)?fù)雜一點(diǎn)，        5x sin x - cos x + 1 = 4x + （1- cos x ）+ （x sin x ），是1階無(wú)窮小

　　由于“等價(jià)無(wú)窮小的差”也可以說(shuō)成是“無(wú)窮小的和”，或“無(wú)窮小的線(xiàn)性組合”，所以，“無(wú)窮小的和”，或“無(wú)窮小的線(xiàn)性組合”，其階數(shù)都是未定式。

　　無(wú)窮小的積是高階無(wú)窮小。        

　　無(wú)窮�。ㄔ趨^(qū)間背景下）也是有界變量。所以，“無(wú)窮小與有界變量的積”是無(wú)窮小，但階數(shù)是未定式。

　　比如，   x→0 時(shí)， x + 3x  與 x 同為1階。實(shí)際上，x + 3x = x（x+3），后因子極限非0

·  但 x sin（1/x）的階數(shù)不能確定。

        在階的意識(shí)下對(duì)0 / 0型未定式作結(jié)構(gòu)分析與調(diào)整 ——

　　例1     x→∞， 求  lim x sin（2x/（x+1））

　　分析   x→∞ 時(shí)，2x/（x+1）是無(wú)窮小，sin（2x /（x+1））~（2x /（x+1），可替換。

　　例2       x→0 時(shí)，  求   lim (5x sin x - cos x + 1) / (3x - l nx)

·  分析    原極限 = lim (4x + 1- cos x + x sin x) / (2x +x -lnx)

　　　　　分子分母都是“多項(xiàng)式型無(wú)窮小”。用“化0項(xiàng)法”， 分子分母同除以（商式中的）最低階的無(wú)窮小。                      原極限 = 2

　　 例3       x→0 時(shí)，  求   lim（1/ x）ln（sin x / x）

　　

　　分析（     數(shù)三學(xué)過(guò)冪級(jí)數(shù)）    sin x = x - x / 6 + ……

····

　　ln（sin x / x）= ln（1— x / 6 + ……）~ —x / 6 ，可替換。

　　無(wú)窮小怪例 ——不能確定階數(shù)的無(wú)窮小

·  怪例1        α = x sin（1/x）和β = x 都是無(wú)窮小，但是它們的商是震蕩因子sin（1/x），沒(méi)有極限。兩個(gè)無(wú)窮小不能比較。

　　更有意思的是，若 γ = x的k次方 ，則無(wú)論 k = 0.9,還是k = 0.99, k = 0.999,……，α總是比γ高階的無(wú)窮小。

　　怪例2       x → +∞ 時(shí) ，  l i m （x的n次方）∕exp（x）= 0      即    l i m （x的n次方）exp（-x）= 0

　　這表明：“x趨于 +∞ 時(shí)，指數(shù)函數(shù)exp（x）是比任意高次方的冪函數(shù)都還要高階的無(wú)窮大�！�

　　或說(shuō)，    x趨于 +∞ 時(shí)， exp（-x）是“任意大階的”無(wú)窮小。它能“吞吸”任一有限階的無(wú)窮大。

　　怪例3        x → +∞ 時(shí) ，  lim  l n x ∕ （x的δ次方）= 0  

　　其中，δ是任意取定的一個(gè)很小的正數(shù)。這表明： x 趨于 +∞ 時(shí)，“對(duì)數(shù)函數(shù)lnx總是比 x的δ次方 都還要低階的無(wú)窮大。”或說(shuō)，1 / l n x是“階數(shù)任意小” 無(wú)窮小。

　　無(wú)窮小的階與級(jí)數(shù)，廣義積分收斂性 ——

　　判斷級(jí)數(shù)，廣義積分收斂性，首先判斷絕對(duì)收斂性。

　　如果用“無(wú)窮小量”的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，則，“級(jí)數(shù)收斂的必要條件是，n → +∞時(shí) ，級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是無(wú)窮小量。”

　　這個(gè)條件不是充分條件。如果我們已經(jīng)判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)的無(wú)窮小階數(shù)為p ，   則p > 1時(shí)級(jí)數(shù)收斂，p≤1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散。

       “已經(jīng)判定”是重要前提。請(qǐng)看（并記�。┕掷�

          盡管1 / n ln n 是較 1/n 高階的無(wú)窮小，但是，通項(xiàng)為 1 / n ln n 的級(jí)數(shù)也發(fā)散.然而，通項(xiàng)為 1 / n (ln n)　的級(jí)數(shù)收斂．你卻不能確定其無(wú)窮小階．

　　*若n → +∞時(shí) ，兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和的通項(xiàng)是同階無(wú)窮小，則這兩個(gè)級(jí)數(shù)或者都收斂，或者都發(fā)散。（這是極限形式的比較法的實(shí)質(zhì)。）

　　例  ∑ Un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是______

··      （A）若n → +∞時(shí) ，lim n Un=0 ，則∑ Un收斂。  

          　　（B）若∑ Un收斂，則n → +∞時(shí) ，lim  n Un = 0

···（C）若存在非零常數(shù)λ，使得n → +∞時(shí) ，lim n Un = λ，則級(jí)數(shù) ∑ Un發(fā)散。

　　　　 （D）若級(jí)數(shù)∑ Un發(fā)散，則存在非零常數(shù)λ，使得lim n Un = λ 

·  分析  （A）錯(cuò)，條件雖然說(shuō)明n → +∞時(shí) ，Un是比1/n高階的無(wú)窮小，但我們不能確定其階數(shù)。

　　答案為（C），它說(shuō)明n → +∞時(shí) ，Un是與1/n 同階的無(wú)窮小。

　　對(duì)于廣義積分.有判斷定理 ——

　　若x→ +∞時(shí) ，f（x）是（能夠確定的）大于1階的無(wú)窮小，則f（x）的無(wú)窮積分收斂。（能夠確定的）

　　若x→ b時(shí)，f（x）是（能夠確定的）低于1階的無(wú)窮大，且f（x）在[a，b]上只有這一個(gè)“暇點(diǎn)”，則f（x）在[a，b]上的暇積分收斂。

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