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第三屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀(guān)摩與評(píng)比活動(dòng)教案
第三屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀(guān)摩與評(píng)比活動(dòng)教案課題：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
教材：人教版(必修)數(shù)學(xué)第二冊(cè)(上)第八章第一節(jié)
授課教師：(吉林省)東北師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校李季
一、教學(xué)目標(biāo)：
1.知識(shí)與技能目標(biāo)：
(1)掌握橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)能用橢圓的定義解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.
2.過(guò)程與方法目標(biāo)：
(1)通過(guò)橢圓定義的歸納和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、認(rèn)識(shí)規(guī)律并利用規(guī)律解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
(2)在橢圓定義的獲得和其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程中進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想和方法
3.情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)目標(biāo)：
(1)通過(guò)橢圓定義的獲得培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣.
(2)通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生求簡(jiǎn)意識(shí)并能懂得欣賞數(shù)學(xué)的"簡(jiǎn)潔美".
(3)通過(guò)師生、生生的合作學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力的培養(yǎng)，增強(qiáng)主動(dòng)與他人合作交流的意識(shí).
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：
1.重點(diǎn)：橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程
2.難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)
三、教學(xué)過(guò)程
(一)認(rèn)識(shí)橢圓，探求規(guī)律：
1.對(duì)橢圓的感性認(rèn)識(shí).通過(guò)演示課前老師和學(xué)生共同準(zhǔn)備的有關(guān)橢圓的實(shí)
物和圖片，讓學(xué)生從感性上認(rèn)識(shí)橢圓.
2.通過(guò)動(dòng)畫(huà)設(shè)計(jì)，展示橢圓的形成過(guò)程，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到橢圓是點(diǎn)按一定"規(guī)
律"運(yùn)動(dòng)的軌跡.
點(diǎn)是線(xiàn)段AC上一動(dòng)點(diǎn)，分別以為圓心，與為半徑做圓，觀(guān)察兩圓交點(diǎn)的軌跡.
請(qǐng)同學(xué)們思考：
(1)在運(yùn)動(dòng)中，哪些量是不變的，哪些量是變化的?
(2)能不能把不變的量用數(shù)學(xué)表達(dá)式表達(dá)出來(lái)?
(3)點(diǎn)(橢圓上的點(diǎn))是以怎樣的規(guī)律進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的?
(4)用這個(gè)規(guī)律能不能畫(huà)出一個(gè)橢圓?
(二)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，親身體會(huì)
用上面所總結(jié)的規(guī)律，指導(dǎo)學(xué)生互相合作(主要在于動(dòng)手)，體驗(yàn)畫(huà)橢圓的過(guò)程(課前準(zhǔn)備直尺、細(xì)繩、釘子、筆、紙板)，并以此了解橢圓上的點(diǎn)的特征.
請(qǐng)兩名同學(xué)上臺(tái)畫(huà)在黑板上.
在本環(huán)節(jié)中并不是急于向?qū)W生交待橢圓的定義，而是設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)，一來(lái)是為了給學(xué)生一個(gè)創(chuàng)造實(shí)驗(yàn)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生體會(huì)橢圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；二是通過(guò)實(shí)踐，為進(jìn)一步上升到理論做準(zhǔn)備.
(三)歸納定義，完善定義
我們通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示，實(shí)踐操作，對(duì)橢圓有了一定的認(rèn)識(shí)，下面由同學(xué)們歸納橢圓的定義(學(xué)生分組討論).
橢圓定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)(大于=2c)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓
在歸納橢圓定義的過(guò)程中，教師根據(jù)學(xué)生回答的情況，不斷引導(dǎo)他們逐步加深理解并完善橢圓的定義，在引導(dǎo)中突出體現(xiàn)"和"，"常數(shù)"及"常數(shù)"的范圍等關(guān)鍵詞與相應(yīng)的特征.
如：總結(jié)動(dòng)畫(huà)演示中兩圓半徑之和(常數(shù))得到橢圓上點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù).
通過(guò)課件分別演示當(dāng)兩定點(diǎn)間距離等于線(xiàn)段長(zhǎng)度時(shí)的軌跡(為一條線(xiàn)段)和當(dāng)兩定點(diǎn)距離大于線(xiàn)段長(zhǎng)度時(shí)的軌跡(不存在)，由學(xué)生完善橢圓定義中常數(shù)的范圍.
教師指出：兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距.
(四)合理建系，推導(dǎo)方程
由學(xué)生自主提出建立坐標(biāo)系的不同方法，教師根據(jù)學(xué)生提出的"建系"方式，把學(xué)生分成若干組，分別按不同的建系的方法推導(dǎo)方程，進(jìn)行比較，從中選擇比較簡(jiǎn)潔優(yōu)美的形式確定為標(biāo)準(zhǔn)方程.
已知橢圓的焦距，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn),的距離之和為，求橢圓的方程.
(1)以?xún)蓚�(gè)定點(diǎn),所在直線(xiàn)為軸，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則
(稱(chēng)此式為幾何條件)，
所以得(實(shí)現(xiàn)集合條件代數(shù)化)，
化簡(jiǎn)，得
注：這是本節(jié)的難點(diǎn)所在，通過(guò)課堂精心設(shè)問(wèn)來(lái)突破難點(diǎn)：①化簡(jiǎn)含有根號(hào)的式子時(shí)，我們通常有什么方法?②對(duì)于本式是直接平方好呢還是恰當(dāng)整理后再平方?學(xué)生通過(guò)實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)對(duì)于這個(gè)方程，直接平方不利于化簡(jiǎn)，而整理后再平方，最后能得到圓滿(mǎn)的結(jié)果.
(2)以線(xiàn)段中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，所得橢圓方程為：
相比之下，其它的建系方式不夠簡(jiǎn)潔.
同學(xué)們觀(guān)察右圖，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到線(xiàn)段AC中點(diǎn)時(shí)，兩圓半徑相等，即，因，則，不妨令，那么(1)(2)所得的橢圓方程可化為：
，(1)
，(2)
(在這里教師指出：我們剛才只是從"曲線(xiàn)的方程"的角度推導(dǎo)出了符合定義的點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足的方程，我們還需要從"方程的曲線(xiàn)"的角度來(lái)說(shuō)明以方程(1)(2)的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線(xiàn)(橢圓)上，這個(gè)問(wèn)題留給學(xué)生課后完成.)
我們稱(chēng)(1)(2)為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方程的理解：
1.所謂橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一定指的是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)；
2.在與這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有的要求，也就是說(shuō)，焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，哪個(gè)對(duì)應(yīng)的分式的分母就較大.
(五)應(yīng)用舉例，小結(jié)升華.
例1.用定義判斷下列動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為橢圓.
(1)平面內(nèi)，到的距離之和為6的點(diǎn)的軌跡.(是)
(2)平面內(nèi)，到的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡.(不是)
(3)平面內(nèi)，到的距離之和為3的點(diǎn)的軌跡.(不是)
例2.方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍為：
例3.已知橢圓方程為，則兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為：
小結(jié)：由學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)到的知識(shí)和思想方法.
1.知識(shí)總結(jié)：
橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程
2.思想方法總結(jié)：
教師根據(jù)學(xué)生的總結(jié)做適當(dāng)補(bǔ)充、歸納、點(diǎn)評(píng)。
(六)、板書(shū)設(shè)計(jì)(略)
教案的設(shè)計(jì)說(shuō)明：
數(shù)學(xué)教學(xué)是思維過(guò)程的教學(xué)，如何引導(dǎo)學(xué)生參與到教學(xué)過(guò)程中來(lái)，尤其是在思維上深層次的參與，是促進(jìn)學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)能力，全面提高素質(zhì)的關(guān)鍵.數(shù)學(xué)教學(xué)中的探究式對(duì)培養(yǎng)和提高學(xué)生的自主性、能動(dòng)性和創(chuàng)造性有著非常重要的意義.本節(jié)借助多媒體輔助手段，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題的情境，讓探究式教學(xué)走進(jìn)課堂，喚醒學(xué)生的主體意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的主體能力，讓學(xué)生在參與中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)合作、學(xué)會(huì)創(chuàng)新.
學(xué)生雖然對(duì)橢圓圖形有所了解，但只限于感性認(rèn)識(shí)，缺少理性的思考、探索和創(chuàng)新，這與缺乏必要的數(shù)學(xué)思想和方法密切相關(guān).本節(jié)課從實(shí)例出發(fā)，設(shè)計(jì)了一對(duì)動(dòng)點(diǎn)有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)作一些理性的探索和研究.
在教材處理上，大膽創(chuàng)新，根據(jù)橢圓定義的特點(diǎn)，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)識(shí)能力和思維習(xí)慣在概念的理解上，先突出"和"，在此基礎(chǔ)上再完善"常數(shù)"取值范圍.在標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)上，并不是直接給出教材中的"建系"方式，而是讓學(xué)生自主地"建系"，通過(guò)所得方程的比較，得到標(biāo)準(zhǔn)方程，從中去體會(huì)探索的樂(lè)趣和數(shù)學(xué)中的對(duì)稱(chēng)美和簡(jiǎn)潔美.
在對(duì)教材中"令"的處理并不是生硬地過(guò)渡，而是通過(guò)課件讓學(xué)生觀(guān)察在當(dāng)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)(但這一幾何性質(zhì)并不向?qū)W生交待)，特征三角形所體現(xiàn)出來(lái)的幾何關(guān)系，再做變換.
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