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數(shù)學(xué)分析一知識點(diǎn)總結(jié)
漫長的學(xué)習(xí)生涯中,看到知識點(diǎn),都是先收藏再說吧!知識點(diǎn)在教育實(shí)踐中,是指對某一個(gè)知識的泛稱。哪些才是我們真正需要的知識點(diǎn)呢?以下是小編為大家整理的數(shù)學(xué)分析一知識點(diǎn)總結(jié),希望對大家有所幫助。
數(shù)學(xué)分析一知識點(diǎn)總結(jié)1
圓的方程
1、圓的定義:平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓,定點(diǎn)為圓心,定長為圓的半徑。
2、圓的方程
。1)標(biāo)準(zhǔn)方程,圓心,半徑為r;
(2)一般方程
當(dāng)時(shí),方程表示圓,此時(shí)圓心為,半徑為
當(dāng)時(shí),表示一個(gè)點(diǎn);當(dāng)時(shí),方程不表示任何圖形。
。3)求圓方程的方法:
一般都采用待定系數(shù)法:先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件,若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,
需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F(xiàn);
另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì):如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn),以此來確定圓心的位置。
高中數(shù)學(xué)必修二知識點(diǎn)總結(jié):直線與圓的位置關(guān)系:
直線與圓的位置關(guān)系有相離,相切,相交三種情況:
。1)設(shè)直線,圓,圓心到l的距離為,則有;;
。2)過圓外一點(diǎn)的切線:①k不存在,驗(yàn)證是否成立②k存在,設(shè)點(diǎn)斜式方程,用圓心到該直線距離=半徑,求解k,得到方程【一定兩解】
。3)過圓上一點(diǎn)的切線方程:圓(x—a)2+(y—b)2=r2,圓上一點(diǎn)為(x0,y0),則過此點(diǎn)的切線方程為(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)=r2
4、圓與圓的位置關(guān)系:通過兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來確定。
設(shè)圓,
兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來確定。
當(dāng)時(shí)兩圓外離,此時(shí)有公切線四條;
當(dāng)時(shí)兩圓外切,連心線過切點(diǎn),有外公切線兩條,內(nèi)公切線一條;
當(dāng)時(shí)兩圓相交,連心線垂直平分公共弦,有兩條外公切線;
當(dāng)時(shí),兩圓內(nèi)切,連心線經(jīng)過切點(diǎn),只有一條公切線;
當(dāng)時(shí),兩圓內(nèi)含;當(dāng)時(shí),為同心圓。
注意:已知圓上兩點(diǎn),圓心必在中垂線上;已知兩圓相切,兩圓心與切點(diǎn)共線
4、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系
公理1:如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。
應(yīng)用:判斷直線是否在平面內(nèi)
用符號語言表示公理1:
公理2:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線
符號:平面α和β相交,交線是a,記作α∩β=a。
符號語言:
公理2的作用:
、偎桥卸▋蓚(gè)平面相交的方法。
、谒f明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系:交線必過公共點(diǎn)。
、鬯梢耘袛帱c(diǎn)在直線上,即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。
公理3:經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。
推論:一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面;兩相交直線確定一平面;兩平行直線確定一平面。
公理3及其推論作用:①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)
公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行
空間直線與直線之間的位置關(guān)系
①異面直線定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線
、诋惷嬷本性質(zhì):既不平行,又不相交。
③異面直線判定:過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線
、墚惷嬷本所成角:作平行,令兩線相交,所得銳角或直角,即所成角。兩條異面直線所成角的范圍是(0°,90°],若兩條異面直線所成的角是直角,我們就說這兩條異面直線互相垂直。
求異面直線所成角步驟:
A、利用定義構(gòu)造角,可固定一條,平移另一條,或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置,頂點(diǎn)選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角
。7)等角定理:如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩角相等或互補(bǔ)。
。8)空間直線與平面之間的位置關(guān)系
直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)。
三種位置關(guān)系的符號表示:aαa∩α=Aa‖α
。9)平面與平面之間的位置關(guān)系:平行——沒有公共點(diǎn);α‖β
相交——有一條公共直線。α∩β=b
5、空間中的平行問題
。1)直線與平面平行的判定及其性質(zhì)
線面平行的.判定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。
線線平行線面平行
線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交,
那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行
。2)平面與平面平行的判定及其性質(zhì)
兩個(gè)平面平行的判定定理
。1)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行
。ň面平行→面面平行),
。2)如果在兩個(gè)平面內(nèi),各有兩組相交直線對應(yīng)平行,那么這兩個(gè)平面平行。
。ň線平行→面面平行),
。3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行,
兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理
。1)如果兩個(gè)平面平行,那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。(面面平行→線面平行)
。2)如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行。(面面平行→線線平行)
7、空間中的垂直問題
(1)線線、面面、線面垂直的定義
、賰蓷l異面直線的垂直:如果兩條異面直線所成的角是直角,就說這兩條異面直線互相垂直。
、诰面垂直:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直,就說這條直線和這個(gè)平面垂直。
、燮矫婧推矫娲怪保喝绻麅蓚(gè)平面相交,所成的二面角(從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形)是直二面角(平面角是直角),就說這兩個(gè)平面垂直。
(2)垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理
、倬面垂直判定定理和性質(zhì)定理
判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直這個(gè)平面。
性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行。
、诿婷娲怪钡呐卸ǘɡ砗托再|(zhì)定理
判定定理:如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直。
性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。
9、空間角問題
(1)直線與直線所成的角
、賰善叫兄本所成的角:規(guī)定為。
、趦蓷l相交直線所成的角:兩條直線相交其中不大于直角的角,叫這兩條直線所成的角。
、蹆蓷l異面直線所成的角:過空間任意一點(diǎn)O,分別作與兩條異面直線a,b平行的直線,形成兩條相交直線,這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。
。2)直線和平面所成的角
、倨矫娴钠叫芯與平面所成的角:規(guī)定為。②平面的垂線與平面所成的角:規(guī)定為。
、燮矫娴男本與平面所成的角:平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。
求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角:“一作,二證,三計(jì)算”。
在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影,由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線,
在解題時(shí),注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息:(1)斜線上一點(diǎn)到面的垂線;(2)過斜線上的一點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直,由面面垂直性質(zhì)易得垂線。
。3)二面角和二面角的平面角
、俣娼堑亩x:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。
、诙娼堑钠矫娼牵阂远娼堑睦馍先我庖稽c(diǎn)為頂點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。
兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角,那么這兩個(gè)平面垂直;反過來,如果兩個(gè)平面垂直,那么所成的二面角為直二面角
、芮蠖娼堑姆椒
定義法:在棱上選擇有關(guān)點(diǎn),過這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角
垂面法:已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí),過兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角為二面角的平面角
數(shù)學(xué)分析一知識點(diǎn)總結(jié)2
1、混淆命題的否定與否命題
命題的“否定”與命題的“否命題”是兩個(gè)不同的概念,命題p的否定是否定命題所作的判斷,而“否命題”是對“若p,則q”形式的命題而言,既要否定條件也要否定結(jié)論。
2、忽視集合元素的三性致誤
集合中的元素具有確定性、無序性、互異性,集合元素的三性中互異性對解題的影響最大,特別是帶有字母參數(shù)的集合,實(shí)際上就隱含著對字母參數(shù)的一些要求。
3、判斷函數(shù)奇偶性忽略定義域致誤
判斷函數(shù)的奇偶性,首先要考慮函數(shù)的定義域,一個(gè)函數(shù)具備奇偶性的必要條件是這個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,如果不具備這個(gè)條件,函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)。
4、函數(shù)零點(diǎn)定理使用不當(dāng)致誤
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是一條連續(xù)的曲線,并且有f(a)f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),但f(a)f(b)>0時(shí),不能否定函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)。函數(shù)的零點(diǎn)有“變號零點(diǎn)”和“不變號零點(diǎn)”,對于“不變號零點(diǎn)”函數(shù)的零點(diǎn)定理是“無能為力”的,在解決函數(shù)的零點(diǎn)問題時(shí)要注意這個(gè)問題。
5、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間理解不準(zhǔn)致誤
在研究函數(shù)問題時(shí)要時(shí)時(shí)刻刻想到“函數(shù)的圖像”,學(xué)會從函數(shù)圖像上去分析問題、尋找解決問題的方法。對于函數(shù)的幾個(gè)不同的單調(diào)遞增(減)區(qū)間,切忌使用并集,只要指明這幾個(gè)區(qū)間是該函數(shù)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即可。
6、三角函數(shù)的單調(diào)性判斷致誤
對于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)性,當(dāng)ω>0時(shí),由于內(nèi)層函數(shù)u=ωx+φ是單調(diào)遞增的,所以該函數(shù)的單調(diào)性和y=sinx的單調(diào)性相同,故可完全按照函數(shù)y=sinx的單調(diào)區(qū)間解決;但當(dāng)ω<0時(shí),內(nèi)層函數(shù)u=ωx+φ是單調(diào)遞減的,此時(shí)該函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)y=sinx的單調(diào)性相反,就不能再按照函數(shù)y=sinx的單調(diào)性解決,一般是根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性將內(nèi)層函數(shù)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)后再加以解決。對于帶有絕對值的三角函數(shù)應(yīng)該根據(jù)圖像,從直觀上進(jìn)行判斷。
7、向量夾角范圍不清致誤
解題時(shí)要全面考慮問題。數(shù)學(xué)試題中往往隱含著一些容易被考生所忽視的因素,能不能在解題時(shí)把這些因素考慮到,是解題成功的關(guān)鍵,如當(dāng)a·b<0時(shí),a與b的夾角不一定為鈍角,要注意θ=π的情況。
8、忽視零向量致誤
零向量是向量中最特殊的向量,規(guī)定零向量的長度為0,其方向是任意的,零向量與任意向量都共線。它在向量中的位置正如實(shí)數(shù)中0的位置一樣,但有了它容易引起一些混淆,稍微考慮不到就會出錯(cuò),考生應(yīng)給予足夠的重視。
9、對數(shù)列的定義、性質(zhì)理解錯(cuò)誤
等差數(shù)列的前n項(xiàng)和在公差不為零時(shí)是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù);一般地,有結(jié)論“若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn+c(a,b,c∈R),則數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是c=0”;在等差數(shù)列中,Sm,S2m—Sm,S3m—S2m(m∈Nx)是等差數(shù)列。
10、an與Sn關(guān)系不清致誤
在數(shù)列問題中,數(shù)列的通項(xiàng)an與其前n項(xiàng)和Sn之間存在下列關(guān)系:an=S1,n=1,Sn—Sn—1,n≥2。這個(gè)關(guān)系對任意數(shù)列都是成立的,但要注意的是這個(gè)關(guān)系式是分段的,在n=1和n≥2時(shí)這個(gè)關(guān)系式具有完全不同的`表現(xiàn)形式,這也是解題中經(jīng)常出錯(cuò)的一個(gè)地方,在使用這個(gè)關(guān)系式時(shí)要牢牢記住其“分段”的特點(diǎn)。
11、錯(cuò)位相減求和項(xiàng)處理不當(dāng)致誤
錯(cuò)位相減求和法的適用條件:數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)的乘積所組成的,求其前n項(xiàng)和;痉椒ㄊ窃O(shè)這個(gè)和式為Sn,在這個(gè)和式兩端同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比得到另一個(gè)和式,這兩個(gè)和式錯(cuò)一位相減,就把問題轉(zhuǎn)化為以求一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和或前n—1項(xiàng)和為主的求和問題。這里最容易出現(xiàn)問題的就是錯(cuò)位相減后對剩余項(xiàng)的處理。
12、不等式性質(zhì)應(yīng)用不當(dāng)致誤
在使用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行推理論證時(shí)一定要準(zhǔn)確,特別是不等式兩端同時(shí)乘以或同時(shí)除以一個(gè)數(shù)式、兩個(gè)不等式相乘、一個(gè)不等式兩端同時(shí)n次方時(shí),一定要注意使其能夠這樣做的條件,如果忽視了不等式性質(zhì)成立的前提條件就會出現(xiàn)錯(cuò)誤。
13、數(shù)列中的最值錯(cuò)誤
數(shù)列問題中其通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式都是關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù),要善于從函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識和理解數(shù)列問題。數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系是高考的命題重點(diǎn),解題時(shí)要注意把n=1和n≥2分開討論,再看能不能統(tǒng)一。在關(guān)于正整數(shù)n的二次函數(shù)中其取最值的點(diǎn)要根據(jù)正整數(shù)距離二次函數(shù)的對稱軸的遠(yuǎn)近而定。
14、不等式恒成立問題致誤
解決不等式恒成立問題的常規(guī)求法是:借助相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解,其中的主要方法有數(shù)形結(jié)合法、變量分離法、主元法。通過最值產(chǎn)生結(jié)論。應(yīng)注意恒成立與存在性問題的區(qū)別,如對任意x∈[a,b]都有f(x)≤g(x)成立,即f(x)—g(x)≤0的恒成立問題,但對存在x∈[a,b],使f(x)≤g(x)成立,則為存在性問題,即f(x)min≤g(x)max,應(yīng)特別注意兩函數(shù)中的最大值與最小值的關(guān)系。
15、忽視三視圖中的實(shí)、虛線致誤
三視圖是根據(jù)正投影原理進(jìn)行繪制,嚴(yán)格按照“長對正,高平齊,寬相等”的規(guī)則去畫,若相鄰兩物體的表面相交,表面的交線是它們的原分界線,且分界線和可視輪廓線都用實(shí)線畫出,不可見的輪廓線用虛線畫出,這一點(diǎn)很容易疏忽。
16、面積體積計(jì)算轉(zhuǎn)化不靈活致誤
面積、體積的計(jì)算既需要學(xué)生有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識,又要用到一些重要的思想方法,是高考考查的重要題型。因此要熟練掌握以下幾種常用的思想方法。
(1)還臺為錐的思想:這是處理臺體時(shí)常用的思想方法。
。2)割補(bǔ)法:求不規(guī)則圖形面積或幾何體體積時(shí)常用。
。3)等積變換法:充分利用三棱錐的任意一個(gè)面都可作為底面的特點(diǎn),靈活求解三棱錐的體積。
。4)截面法:尤其是關(guān)于旋轉(zhuǎn)體及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合問題,常畫出軸截面進(jìn)行分析求解。
17、忽視基本不等式應(yīng)用條件致誤
利用基本不等式a+b≥2ab以及變式ab≤a+b22等求函數(shù)的最值時(shí),務(wù)必注意a,b為正數(shù)(或a,b非負(fù)),ab或a+b其中之一應(yīng)是定值,特別要注意等號成立的條件。對形如y=ax+bx(a,b>0)的函數(shù),在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí),一定要注意ax,bx的符號,必要時(shí)要進(jìn)行分類討論,另外要注意自變量x的取值范圍,在此范圍內(nèi)等號能否取到。
數(shù)學(xué)分析一知識點(diǎn)總結(jié)3
1.數(shù)列的定義
按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列,數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做數(shù)列的項(xiàng).
(1)從數(shù)列定義可以看出,數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的,如果組成數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同,那么它們就不是同一數(shù)列,例如數(shù)列1,2,3,4,5與數(shù)列5,4,3,2,1是不同的數(shù)列.
(2)在數(shù)列的定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同,因此,在同一數(shù)列中可以出現(xiàn)多個(gè)相同的.數(shù)字,如:-1的1次冪,2次冪,3次冪,4次冪,…構(gòu)成數(shù)列:-1,1,-1,1,….
(4)數(shù)列的項(xiàng)與它的項(xiàng)數(shù)是不同的,數(shù)列的項(xiàng)是指這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù),是一個(gè)函數(shù)值,也就是相當(dāng)于f(n),而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在數(shù)列中的位置序號,它是自變量的值,相當(dāng)于f(n)中的n.
(5)次序?qū)τ跀?shù)列來講是十分重要的,有幾個(gè)相同的數(shù),由于它們的排列次序不同,構(gòu)成的數(shù)列就不是一個(gè)相同的數(shù)列,顯然數(shù)列與數(shù)集有本質(zhì)的區(qū)別.如:2,3,4,5,6這5個(gè)數(shù)按不同的次序排列時(shí),就會得到不同的數(shù)列,而{2,3,4,5,6}中元素不論按怎樣的次序排列都是同一個(gè)集合.
2.數(shù)列的分類
(1)根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)多少可以對數(shù)列進(jìn)行分類,分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列.在寫數(shù)列時(shí),對于有窮數(shù)列,要把末項(xiàng)寫出,例如數(shù)列1,3,5,7,9,…,2n-1表示有窮數(shù)列,如果把數(shù)列寫成1,3,5,7,9,…或1,3,5,7,9,…,2n-1,…,它就表示無窮數(shù)列.
(2)按照項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系或數(shù)列的增減性可以分為以下幾類:遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動數(shù)列、常數(shù)列.
3.數(shù)列的通項(xiàng)公式
數(shù)列是按一定次序排列的一列數(shù),其內(nèi)涵的本質(zhì)屬性是確定這一列數(shù)的規(guī)律,這個(gè)規(guī)律通常是用式子f(n)來表示的,
這兩個(gè)通項(xiàng)公式形式上雖然不同,但表示同一個(gè)數(shù)列,正像每個(gè)函數(shù)關(guān)系不都能用解析式表達(dá)出來一樣,也不是每個(gè)數(shù)列都能寫出它的通項(xiàng)公式;有的數(shù)列雖然有通項(xiàng)公式,但在形式上,又不一定是的,僅僅知道一個(gè)數(shù)列前面的有限項(xiàng),無其他說明,數(shù)列是不能確定的,通項(xiàng)公式更非.如:數(shù)列1,2,3,4。
數(shù)學(xué)分析一知識點(diǎn)總結(jié)4
一、角的定義
“靜態(tài)”概念:有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角。
“動態(tài)”概念:角可以看作是一條射線繞其端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形。
如果一個(gè)角的兩邊成一條直線,那么這個(gè)角叫做平角;平角的一半叫直角;大于直角小于平角的角叫做鈍角;大于0小于直角的角叫做銳角。
二、角的換算:
1周角=2平角=4直角=360°;
1平角=2直角=180°;
1直角=90°;
1度=60分=3600秒(即:1°=60′=3600″);
1分=60秒(即:1′=60″).
三、余角、補(bǔ)角的概念和性質(zhì):
概念:如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角,那么這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角。
如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角,那么這兩個(gè)角叫做互為余角。
說明:互補(bǔ)、互余是指兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系,沒有位置關(guān)系。
性質(zhì):同角(或等角)的余角相等;
同角(或等角)的補(bǔ)角相等。
四、角的比較方法:
角的'大小比較,有兩種方法:
(1)度量法(利用量角器);
(2)疊合法(利用圓規(guī)和直尺)。
五、角平分線:
從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線。把這個(gè)角分成相等的兩部分,這條射線叫做這個(gè)角的平分線。
常見考法
(1)考查與時(shí)鐘有關(guān)的問題;
(2)角的計(jì)算與度量。
誤區(qū)提醒
角的度、分、秒單位的換算是60進(jìn)制,而不是10進(jìn)制,換算時(shí)易受10進(jìn)制影響而出錯(cuò)。
數(shù)學(xué)分析一知識點(diǎn)總結(jié)5
1、正數(shù)和負(fù)數(shù)的有關(guān)概念
(1)正數(shù):比0大的數(shù)叫做正數(shù);
負(fù)數(shù):比0小的數(shù)叫做負(fù)數(shù);
0既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù)。
(2)正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量。
2、有理數(shù)的概念及分類
3、有關(guān)數(shù)軸
(1)數(shù)軸的三要素:原點(diǎn)、正方向、單位長度。數(shù)軸是一條直線。
(2)所有有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示,但數(shù)軸上的點(diǎn)不一定都是有理數(shù)。
(3)數(shù)軸上,右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大;表示正數(shù)的點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè),表示負(fù)數(shù)的點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)。
(2)相反數(shù):符號不同、絕對值相等的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。
若a、b互為相反數(shù),則a+b=0;
相反數(shù)是本身的是0,正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)。
(3)絕對值最小的數(shù)是0;絕對值是本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)。
4、任何數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)。
最小的正整數(shù)是1,最大的負(fù)整數(shù)是-1。
5、利用絕對值比較大小
兩個(gè)正數(shù)比較:絕對值大的那個(gè)數(shù)大;
兩個(gè)負(fù)數(shù)比較:先算出它們的絕對值,絕對值大的反而小。
6、有理數(shù)加法
(1)符號相同的兩數(shù)相加:和的符號與兩個(gè)加數(shù)的符號一致,和的絕對值等于兩個(gè)加數(shù)絕對值之和.
(2)符號相反的兩數(shù)相加:當(dāng)兩個(gè)加數(shù)絕對值不等時(shí),和的符號與絕對值較大的'加數(shù)的符號相同,和的絕對值等于加數(shù)中較大的絕對值減去較小的絕對值;當(dāng)兩個(gè)加數(shù)絕對值相等時(shí),兩個(gè)加數(shù)互為相反數(shù),和為零.
(3)一個(gè)數(shù)同零相加,仍得這個(gè)數(shù).
加法的交換律:a+b=b+a
加法的結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)
7、有理數(shù)減法:
減去一個(gè)數(shù),等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。
8、在把有理數(shù)加減混合運(yùn)算統(tǒng)一為最簡的形式,負(fù)數(shù)前面的加號可以省略不寫.
例如:14+12+(-25)+(-17)可以寫成省略括號的形式:14+12-25-17,可以讀作“正14加12減25減17”,也可以讀作“正14、正12、負(fù)25、負(fù)17的和.”
9、有理數(shù)的乘法
兩個(gè)數(shù)相乘,同號得正,異號得負(fù),再把絕對值相乘;任何數(shù)與0相乘都得0。
第一步:確定積的符號第二步:絕對值相乘
10、乘積的符號的確定
幾個(gè)有理數(shù)相乘,因數(shù)都不為0時(shí),積的符號由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)確定:當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí),積為負(fù);
當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí),積為正。幾個(gè)有理數(shù)相乘,有一個(gè)因數(shù)為零,積就為零。
11、倒數(shù):
乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù),0沒有倒數(shù)。
正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù),負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。(互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)符號一定相同)
倒數(shù)是本身的只有1和-1。
數(shù)學(xué)分析一知識點(diǎn)總結(jié)6
等式的性質(zhì):
不等式的性質(zhì)可分為不等式基本性質(zhì)和不等式運(yùn)算性質(zhì)兩部分。
不等式基本性質(zhì)有:
(1)a>bb
(2)a>b,b>ca>c(傳遞性)
(3)a>ba+c>b+c(c∈R)
(4)c>0時(shí),a>bac>bc
c<0時(shí),a>bac
運(yùn)算性質(zhì)有:
(1)a>b,c>da+c>b+d。
(2)a>b>0,c>d>0ac>bd。
(3)a>b>0an>bn(n∈N,n>1)。
(4)a>b>0>(n∈N,n>1)。
應(yīng)注意,上述性質(zhì)中,條件與結(jié)論的邏輯關(guān)系有兩種:“”和“”即推出關(guān)系和等價(jià)關(guān)系。一般地,證明不等式就是從條件出發(fā)施行一系列的推出變換。解不等式就是施行一系列的'等價(jià)變換。因此,要正確理解和應(yīng)用不等式性質(zhì)。
、陉P(guān)于不等式的性質(zhì)的考察,主要有以下三類問題:
(1)根據(jù)給定的不等式條件,利用不等式的性質(zhì),判斷不等式能否成立。
(2)利用不等式的性質(zhì)及實(shí)數(shù)的性質(zhì),函數(shù)性質(zhì),判斷實(shí)數(shù)值的大小。
(3)利用不等式的性質(zhì),判斷不等式變換中條件與結(jié)論間的充分或必要關(guān)系。
數(shù)學(xué)分析一知識點(diǎn)總結(jié)7
任一A,B,記做AB
AB,BA,A=B
AB={|A|,且|B|}
AB={|A|,或|B|}
Card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)
(1)命題
原命題若p則q
逆命題若q則p
否命題若p則q
逆否命題若q,則p
(2)AB,A是B成立的充分條件
BA,A是B成立的必要條件
AB,A是B成立的充要條件
1.集合元素具有①確定性;②互異性;③無序性
2.集合表示方法①列舉法;②描述法;③韋恩圖;④數(shù)軸法
(3)集合的.運(yùn)算
、貯∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
②Cu(A∩B)=CuA∪CuB
Cu(A∪B)=CuA∩CuB
(4)集合的性質(zhì)
n元集合的字集數(shù):2n
真子集數(shù):2n-1;
非空真子集數(shù):2n-2
數(shù)學(xué)分析一知識點(diǎn)總結(jié)8
1、集合的概念
集合是數(shù)學(xué)中最原始的不定義的概念,只能給出,描述性說明:某些制定的且不同的對象集合在一起就稱為一個(gè)集合。組成集合的對象叫元素,集合通常用大寫字母A、B、C、…來表示。元素常用小寫字母a、b、c、…來表示。
集合是一個(gè)確定的整體,因此對集合也可以這樣描述:具有某種屬性的對象的全體組成的一個(gè)集合。
2、元素與集合的關(guān)系元素與集合的關(guān)系有屬于和不屬于兩種:
元素a屬于集合A,記做a∈A;元素a不屬于集合A,記做a?A。
3、集合中元素的`特性
(1)確定性:設(shè)A是一個(gè)給定的集合,_是某一具體對象,則_或者是A的元素,或者不是A的元素,兩種情況必有一種且只有一種成立。例如A={0,1,3,4},可知0∈A,6?A。
(2)互異性:“集合張的元素必須是互異的”,就是說“對于一個(gè)給定的集合,它的任何兩個(gè)元素都是不同的”。
(3)無序性:集合與其中元素的排列次序無關(guān),如集合{a,b,c}與集合{c,b,a}是同一個(gè)集合。
4、集合的分類
集合科根據(jù)他含有的元素個(gè)數(shù)的多少分為兩類:
有限集:含有有限個(gè)元素的集合。如“方程3_+1=0”的解組成的集合”,由“2,4,6,8,組成的集合”,它們的元素個(gè)數(shù)是可數(shù)的,因此兩個(gè)集合是有限集。
無限集:含有無限個(gè)元素的集合,如“到平面上兩個(gè)定點(diǎn)的距離相等于所有點(diǎn)”“所有的三角形”,組成上述集合的元素不可數(shù)的,因此他們是無限集。
特別的,我們把不含有任何元素的集合叫做空集,記錯(cuò)F,如{|R|+1=0}。
5、特定的集合的表示
為了書寫方便,我們規(guī)定常見的數(shù)集用特定的字母表示,下面是幾種常見的數(shù)集表示方法,請牢記。
(1)全體非負(fù)整數(shù)的集合通常簡稱非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集),記做N。
(2)非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排出0的集合,也稱正整數(shù)集,記做N_或N+。
(3)全體整數(shù)的集合通常簡稱為整數(shù)集Z。
(4)全體有理數(shù)的集合通常簡稱為有理數(shù)集,記做Q。
(5)全體實(shí)數(shù)的集合通常簡稱為實(shí)數(shù)集,記做R。
數(shù)學(xué)分析一知識點(diǎn)總結(jié)9
分層抽樣
先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志(性別、年齡等)劃分成若干類型或?qū)哟危缓笤僭诟鱾(gè)類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個(gè)子樣本,最后,將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。
兩種方法
1.先以分層變量將總體劃分為若干層,再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。
2.先以分層變量將總體劃分為若干層,再將各層中的元素按分層的順序整齊排列,最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。
2.分層抽樣是把異質(zhì)性較強(qiáng)的總體分成一個(gè)個(gè)同質(zhì)性較強(qiáng)的子總體,再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體,所有的樣本進(jìn)而代表總體。
分層標(biāo)準(zhǔn)
(1)以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標(biāo)準(zhǔn)。
(2)以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強(qiáng)、各層之間異質(zhì)性強(qiáng)、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分層變量。
(3)以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。
分層的比例問題
(1)按比例分層抽樣:根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子樣本的方法。
(2)不按比例分層抽樣:有的層次在總體中的比重太小,其樣本量就會非常少,此時(shí)采用該方法,主要是便于對不同層次的子總體進(jìn)行專門研究或進(jìn)行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時(shí),則需要先對各層的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行加權(quán)處理,調(diào)整樣本中各層的比例,使數(shù)據(jù)恢復(fù)到總體中各層實(shí)際的.比例結(jié)構(gòu)。
(1)定義:
對于函數(shù)y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點(diǎn)。
(2)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根、函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)間的關(guān)系:
方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)。
(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理):
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根。
二二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系
三二分法
對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法。
1、函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn):
函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根,也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),所以函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)數(shù),而不是一個(gè)點(diǎn).在寫函數(shù)零點(diǎn)時(shí),所寫的一定是一個(gè)數(shù)字,而不是一個(gè)坐標(biāo)。
2、對函數(shù)零點(diǎn)存在的判斷中,必須強(qiáng)調(diào):
(1)、f(x)在[a,b]上連續(xù);
(2)、f(a)·f(b)<0;
(3)、在(a,b)內(nèi)存在零點(diǎn)。
這是零點(diǎn)存在的一個(gè)充分條件,但不必要。
3、對于定義域內(nèi)連續(xù)不斷的函數(shù),其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號。
利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間時(shí),首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù)不斷,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn)。
四判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法
1、解方程法:
令f(x)=0,如果能求出解,則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)。
2、零點(diǎn)存在性定理法:
利用定理不僅要判斷函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)。
3、數(shù)形結(jié)合法:
轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù),其中交點(diǎn)的個(gè)數(shù),就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。
已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)取值常用的方法
1、直接法:
直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍。
2、分離參數(shù)法:
先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決。
3、數(shù)形結(jié)合法:
先對解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解。
數(shù)學(xué)分析一知識點(diǎn)總結(jié)10
1、函數(shù)零點(diǎn)的概念:
對于函數(shù),把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。
2、函數(shù)零點(diǎn)的意義:
函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根,亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即:方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)。
3、函數(shù)零點(diǎn)的求法:
求函數(shù)的零點(diǎn):
。1)(代數(shù)法)求方程的.實(shí)數(shù)根;
。2)(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)。
4、二次函數(shù)的零點(diǎn):
二次函數(shù)。
1)△>0,方程有兩不等實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)。
2)△=0,方程有兩相等實(shí)根(二重根),二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)。
3)△<0,方程無實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn),二次函數(shù)無零點(diǎn)。
數(shù)學(xué)分析一知識點(diǎn)總結(jié)11
公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。
公理2:如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線。
公理3:過不在同一條直線上的.三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。
推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。
推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面。
推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面。
公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。
等角定理:如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同,那么這兩個(gè)角相等。
數(shù)學(xué)分析一知識點(diǎn)總結(jié)12
空間兩條直線只有三種位置關(guān)系:平行、相交、異面
按是否共面可分為兩類:
。1)共面:平行、相交
。2)異面:
異面直線的定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。
異面直線判定定理:用平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線,與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。
兩異面直線所成的角:范圍為(0°,90°)esp?臻g向量法
兩異面直線間距離:公垂線段(有且只有一條)esp?臻g向量法
若從有無公共點(diǎn)的角度看可分為兩類:
(1)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)——相交直線;
。2)沒有公共點(diǎn)——平行或異面
直線和平面的位置關(guān)系:
直線和平面只有三種位置關(guān)系:在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行
①直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)
、谥本和平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
直線與平面所成的角:平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角。
空間向量法(找平面的法向量)
規(guī)定:a、直線與平面垂直時(shí),所成的角為直角,b、直線與平面平行或在平面內(nèi),所成的`角為0°角
由此得直線和平面所成角的取值范圍為[0°,90°]
最小角定理:斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角
三垂線定理及逆定理:如果平面內(nèi)的一條直線,與這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,那么它也與這條斜線垂直
直線和平面垂直
直線和平面垂直的定義:如果一條直線a和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線a和平面互相垂直。直線a叫做平面的垂線,平面叫做直線a的垂面。
直線與平面垂直的判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面。
直線與平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行。③直線和平面平行——沒有公共點(diǎn)
直線和平面平行的定義:如果一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn),那么我們就說這條直線和這個(gè)平面平行。
直線和平面平行的判定定理:如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行。
直線和平面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行。
數(shù)學(xué)分析一知識點(diǎn)總結(jié)13
簡單隨機(jī)抽樣的定義:
一般地,設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體,從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(n≤N),如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會都相等,就把這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣。
簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn):
。1)用簡單隨機(jī)抽樣從含有N個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為n的'樣本時(shí),每次抽取一個(gè)個(gè)體時(shí)任一個(gè)體被抽到的概率為;在整個(gè)抽樣過程中各個(gè)個(gè)體被抽到的概率為
。2)簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)是,逐個(gè)抽取,且各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等;
(3)簡單隨機(jī)抽樣方法,體現(xiàn)了抽樣的客觀性與公平性,是其他更復(fù)雜抽樣方法的基礎(chǔ)。
。4)簡單隨機(jī)抽樣是不放回抽樣;它是逐個(gè)地進(jìn)行抽;它是一種等概率抽樣
簡單抽樣常用方法:
。1)抽簽法:先將總體中的所有個(gè)體(共有N個(gè))編號(號碼可從1到N),并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上(號簽可用小球、卡片、紙條等制作),然后將這些號簽放在同一個(gè)箱子里,進(jìn)行均勻攪拌,抽簽時(shí)每次從中抽一個(gè)號簽,連續(xù)抽取n次,就得到一個(gè)容量為n的樣本適用范圍:總體的個(gè)體數(shù)不多時(shí)優(yōu)點(diǎn):抽簽法簡便易行,當(dāng)總體的個(gè)體數(shù)不太多時(shí)適宜采用抽簽法。
(2)隨機(jī)數(shù)表法:隨機(jī)數(shù)表抽樣“三步曲”:第一步,將總體中的個(gè)體編號;第二步,選定開始的數(shù)字;第三步,獲取樣本號碼概率。
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