線性代數(shù)知識點總結

　　總結是把一定階段內的有關情況分析研究，做出有指導性結論的書面材料，它是增長才干的一種好辦法，讓我們抽出時間寫寫總結吧。那么如何把總結寫出新花樣呢？下面是小編整理的線性代數(shù)知識點總結，歡迎大家分享。

　　線性代數(shù)知識點總結1

　　第一章行列式

　　知識點1：行列式、逆序數(shù)

　　知識點2：余子式、代數(shù)余子式

　　知識點3：行列式的性質

　　知識點4：行列式按一行（列）展開公式

　　知識點5：計算行列式的方法

　　知識點6：克拉默法則

　　第二章矩陣

　　知識點7：矩陣的概念、線性運算及運算律

　　知識點8：矩陣的乘法運算及運算律

　　知識點9：計算方陣的冪

　　知識點10：轉置矩陣及運算律

　　知識點11：伴隨矩陣及其性質

　　知識點12：逆矩陣及運算律

　　知識點13：矩陣可逆的判斷

　　知識點14：方陣的行列式運算及特殊類型的矩陣的運算

　　知識點15：矩陣方程的求解

　　知識點16：初等變換的概念及其應用

　　知識點17：初等方陣的概念

　　知識點18：初等變換與初等方陣的關系

　　知識點19：等價矩陣的概念與判斷

　　知識點20：矩陣的.子式與最高階非零子式

　　知識點21：矩陣的秩的概念與判斷

　　知識點22：矩陣的秩的性質與定理

　　知識點23：分塊矩陣的概念與運算、特殊分塊陣的運算

　　知識點24：矩陣分塊在解題中的技巧舉例

　　第三章向量

　　知識點25：向量的概念及運算

　　知識點26：向量的線性組合與線性表示

　　知識點27：向量組之間的線性表示及等價

　　知識點28：向量組線性相關與線性無關的概念

　　知識點29：線性表示與線性相關性的關系

　　知識點30：線性相關性的判別法

　　知識點31：向量組的最大線性無關組和向量組的秩的概念

　　知識點32：矩陣的秩與向量組的秩的關系

　　知識點33：求向量組的最大無關組

　　知識點34：有關向量組的定理的綜合運用

　　知識點35：內積的概念及性質

　　知識點36：正交向量組、正交陣及其性質

　　知識點37：向量組的正交規(guī)范化、施密特正交化方法

　　知識點38：向量空間（數(shù)一）

　　知識點39：基變換與過渡矩陣（數(shù)一）

　　知識點40：基變換下的坐標變換（數(shù)一）

　　第四章線性方程組

　　知識點41：齊次線性方程組解的性質與結構

　　知識點42：非齊次方程組解的性質及結構

　　知識點43：非齊次線性線性方程組解的各種情形

　　知識點44：用初等行變換求解線性方程組

　　知識點45：線性方程組的公共解、同解

　　知識點46：方程組、矩陣方程與矩陣的乘法運算的關系

　　知識點47：方程組、矩陣與向量之間的聯(lián)系及其解題技巧舉例

　　第五章矩陣的特征值與特征向量

　　知識點48：特征值與特征向量的概念與性質

　　知識點49：特征值和特征向量的求解

　　知識點50：相似矩陣的概念及性質

　　知識點51：矩陣的相似對角化

　　知識點52：實對稱矩陣的相似對角化.

　　知識點53：利用相似對角化求矩陣和矩陣的冪

　　第六章二次型

　　知識點54：二次型及其矩陣表示

　　知識點55：矩陣的合同

　　知識點56 :矩陣的等價、相似與合同的關系

　　知識點57：二次型的標準形

　　知識點58：用正交變換化二次型為標準形

　　知識點59：用配方法化二次型為標準形

　　知識點60：正定二次型的概念及判斷

　　線性代數(shù)知識點總結2

　　線性代數(shù)的學習切入點是線性方程組。換言之，可以把線性代數(shù)看作是在研究線性方程組這一對象的過程中建立起來的學科。

　　線性方程組

　　線性方程組的特點：方程是未知數(shù)的一次齊次式，方程組的數(shù)目s和未知數(shù)的個數(shù)n可以相同，也可以不同。

　　關于線性方程組的解，有三個問題值得討論：

　　1、方程組是否有解，即解的存在性問題；

　　2、方程組如何求解，有多少個；

　　3、方程組有不止一個解時，這些不同的解之間有無內在聯(lián)系，即解的結構問題。

　　高斯消元法

　　這最基礎和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對方程的同解變換：

　　1、把某個方程的k倍加到另外一個方程上去；

　　2、交換某兩個方程的位置；

　　3、用某個常數(shù)k乘以某個方程。我們把這三種變換統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換。

　　任意的線性方程組都可以通過初等變換化為階梯形方程組。

　　由具體例子可看出，化為階梯形方程組后，就可以依次解出每個未知數(shù)的值，從而求得方程組的解。

　　對方程組的解起決定性作用的是未知數(shù)的系數(shù)及其相對位置，所以可以把方程組的所有系數(shù)及常數(shù)項按原來的位置提取出來，形成一張表，通過研究這張表，就可以判斷解的情況。我們把這樣一張由若干個數(shù)按某種方式構成的表稱為矩陣。

　　可以用矩陣的形式來表示一個線性方程組，這至少在書寫和表達上都更加簡潔。

　　系數(shù)矩陣和增廣矩陣

　　高斯消元法中對線性方程組的初等變換，就對應的是矩陣的初等行變換。階梯形方程組，對應的是階梯形矩陣。換言之，任意的線性方程組，都可以通過對其增廣矩陣做初等行變換化為階梯形矩陣，求得解。

　　階梯形矩陣的特點：左下方的元素全為零，每一行的第一個不為零的元素稱為該行的主元。

　　對不同的線性方程組的具體求解結果進行歸納總結（有唯一解、無解、有無窮多解），再經過嚴格證明，可得到關于線性方程組解的判別定理：首先是通過初等變換將方程組化為階梯形，若得到的`階梯形方程組中出現(xiàn)d=0這一項，則方程組無解，若未出現(xiàn)d=0一項，則方程組有解；在方程組有解的情況下，若階梯形的非零行數(shù)目r等于未知量數(shù)目n，方程組有唯一解；若r<n，則方程組有無窮多解。

　　在利用初等變換得到階梯型后，還可進一步得到最簡形，使用最簡形，最簡形的特點是主元上方的元素也全為零，這對于求解未知量的值更加方便，但代價是之前需要經過更多的初等變換。在求解過程中，選擇階梯形還是最簡形，取決于個人習慣。

　　齊次方程組

　　常數(shù)項全為零的線性方程稱為齊次方程組，齊次方程組必有零解。

　　齊次方程組的方程組個數(shù)若小于未知量個數(shù)，則方程組一定有非零解。

　　利用高斯消元法和解的判別定理，以及能夠回答前述的基本問題：解的存在性問題和如何求解的問題，這是以線性方程組為出發(fā)點建立起來的最基本理論。

　　對于n個方程n個未知數(shù)的特殊情形，我們發(fā)現(xiàn)可以利用系數(shù)的某種組合來表示其解，這種按特定規(guī)則表示的系數(shù)組合稱為一個線性方程組(或矩陣)的行列式。行列式的特點：有n!項，每項的符號由角標排列的逆序數(shù)決定，是一個數(shù)。

　　通過對行列式進行研究，得到了行列式具有的一些性質(如交換某兩行其值反號、有兩行對應成比例其值為零、可按行展開等等)，這些性質都有助于我們更方便的計算行列式。

　　用系數(shù)行列式可以判斷n個方程的n元線性方程組的解的情況，這就是克萊姆法則。

　　總而言之，可把行列式看作是為了研究方程數(shù)目與未知量數(shù)目相等的特殊情形時引出的一部分內容。

　　線性代數(shù)知識點總結3

　　線性代數(shù)占考研數(shù)學總分值的22%，約34分，以2個選擇題、1個填空題、2個解答題的形式出現(xiàn)。雖然線性代數(shù)的考點眾多，但要把這5個題目的分值完全收入囊中，則需要進行重點題型重點突破。

　　矩陣的秩

　　矩陣是解決線性方程組的解的有力工具，矩陣也是化簡二次型的方便工具。矩陣理論是線性代數(shù)的重點內容，熟悉掌握了矩陣的相關性質與內容，利用其來解決實際應用問題就變得簡單易行。正因為矩陣理論在整個線性代數(shù)中的重要作用，使它變?yōu)榭荚嚳疾榈闹攸c。矩陣由那么多元素組成，每一個元素都在扮演不同的角色，其中的核心或主角是它的秩!

　　通過幾十年考研考試命題，命題老師對題目的形式在不斷地完善，這也要求大家深入理解概念，靈活處理理論之間的關系，能變通地解答題目。例如對矩陣秩的理解，對矩陣的秩與向量組的秩之間的關系的理解，對矩陣等價與向量組等價之間區(qū)別的理解，對矩陣的秩與方程組的解之間關系的掌握，對含參數(shù)的矩陣的處理以及反問題的解決能力等，都需要在對概念理解的基礎上，聯(lián)系地看問題，及時總結結論。

　　矩陣的特征值與特征向量

　　矩陣的特征值與特征向量在將矩陣對角化過程中起著決定作用，也是將二次型標準化、規(guī)范化的便捷方式，故特征值與特征向量也是考查重點。對于特征值與特征向量，須理清其相互關系，也須能根據(jù)一些矩陣的特殊性求得其特征值與特征向量(例如根據(jù)矩陣各行元素之和為3能夠判斷3是其一個特征值，元素均為1的列向量是其對應的特征向量)，會處理含參數(shù)的情況。

　　線性方程組求解

　　對線性方程組的求解總是通過矩陣來處理，含參數(shù)的方程組是考查的重點，對方程組解的結構及有解的條件須熟悉。例如2010年第20題(數(shù)學二為22題)，已知三元非齊次線性方程組存在2個不同的解，求其中的參數(shù)并求方程組的通解。此題的關鍵是確定參數(shù)!而所有信息完全隱含在"AX=b存在2個不同的解"這句話中。由此可以得到齊次方程組有非0解，系數(shù)矩陣降秩，行列式為0，可求得矩陣中的參數(shù);非齊次方程組有解故系數(shù)矩陣與增廣矩陣同秩可確定唯一參數(shù)及b中的參數(shù)。至于確定參數(shù)后再求解非齊次方程組就變得非常簡單了。

　　二次型標準化與正定判斷

　　二次型的標準化與矩陣對角化緊密相連，即與矩陣的特征值與特征向量緊密聯(lián)系。這里需要掌握一些處理含參數(shù)矩陣的方法以便運算中節(jié)省時間。正定二次型有很優(yōu)秀的性質，但畢竟這是一類特殊矩陣，判斷一個矩陣是否屬于這個特殊類，可以使用正定矩陣的幾個充要條件，例如二次型矩陣的特征值是否全大于0，順序主子式是否均大于0等，但前者更常用一些。

　　歷年考研數(shù)學真題解析線性代數(shù)命題特點解析

　　考研數(shù)學是研究生招生入學考試中通過筆試的形式對考生數(shù)學功底的考查，從近幾年的考研數(shù)學歷年真題分析結果來看，可以得出一個結論：線性代數(shù)的難度在高數(shù)和概率統(tǒng)計之間，且大多數(shù)的同學認為線性代數(shù)試題難度不大，就是計算量稍微偏大點，線代代數(shù)的考查是對基本方法的考查，但是往往在做題過程中需要利用一些性質進行輔助解決。

　　線性代數(shù)的學科特點是知識點之間的綜合性比較強，這也是它本身的一個難點。這就需要同學們在復習過程中，注意對于知識點間的關聯(lián)性進行對比著學習，有助于鞏固知識點且不易混淆。

　　總體來說，線性代數(shù)主要包括六部分的內容，行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量、二次型。

　　一、行列式部分，熟練掌握行列式的計算。

　　行列式實質上是一個數(shù)或含有字母的式子，如何把這個數(shù)算出來，一般情況下很少用行列式的定義進行求解，而往往采用行列式的性質將其化成上或下三角行列式進行計算，或是采用降階法(按行或按列展開定理)，甚至有時兩種方法同時用。此外范德蒙行列式也是需要掌握的。行列式的考查方式分為低階的數(shù)字型矩陣和高階抽象行列式的計算、含參數(shù)的行列式的計算等等。同學們只要掌握了基本方法即可。

　　二、矩陣部分，重視矩陣運算，掌握矩陣秩的應用。

　　通過考研數(shù)學歷年真題分類統(tǒng)計與考點分布，矩陣部分的考點集中在逆矩陣、伴隨矩陣、矩陣的秩及矩陣方程的考查。此外，含隨矩陣的矩陣方程，矩陣與行列式的關系、逆矩陣的求法也是考生需要掌握的知識點。涉及秩的應用，包含秩與矩陣可逆的關系，矩陣及其伴隨矩陣秩之間的關系，矩陣的秩與向量組的秩之間的關系，矩陣等價與向量組等價的區(qū)別與聯(lián)系，系數(shù)矩陣的秩與方程組的解之間關系的分析。

　　三、向量部分，理解相關無關概念，靈活進行判定。

　　向量組的線性相關問題是向量部分的重中之重，也是考研線性代數(shù)每年必出的考點。要求考生掌握線性相關、線性表出、線性無關的定義。以及如何判斷向量組線性相關及線性無關的.方法。 向量組的秩和極大無關組以及向量組等價這些重要的知識點要求同學們一定一定掌握到位。

　　這是線性代數(shù)前三個內容的命題特點，而行列式的矩陣是整個線性代數(shù)的基礎，對于行列式的計算及矩陣的運算與一些重要的性質與結論請考生朋友們一定要務必掌握，否則的話，對于后面四部分的學習會越學越難，希望同學們在復習過程中一定注意前面內容的復習，為后面的考研數(shù)學復習打好基礎。

　　前面我們已經分析過，考研數(shù)學線性代數(shù)這門學科整體的特點是知識點之間的綜合性比較強，有些概念較為抽象，這也是大部分考生認為考研數(shù)學線性代數(shù)不好學，根本找不到復習的頭緒，做題時也是一頭霧水，不知道怎么分析考慮。

　　這里，老師要求大家在學習過程中一定要注意知識間之間的關聯(lián)性，理解概率的實質。如：矩陣的秩與向量組的秩之間的關聯(lián)，矩陣等價與向量組等價的區(qū)別，矩陣等價、相似、合同三者之間的區(qū)別與聯(lián)系、矩陣相似對角化與實對稱矩陣正交變換對角化二者之間的區(qū)別與聯(lián)系等等。若是同學們對于上面的問題根本分不清楚，則說明大家對于基本概念、基本方法還沒有完全理解透徹。不過，大家也不要太焦急，希望同學們在后期的復習過程中對于基本概念、基本方法要多加理解和體會，學習一定要有心得。

　　下面我們分析一下后面三部分的內容，線性方程組、特征值與特征向量、二次型的命題特點。

　　線性方程組，會求兩類方程組的解。線性方程組是線性代數(shù)這么學科的核心和樞紐，很多問題的解決都離不開解方程組。因而線性方程組解的問題是每年必考的知識點。對于齊次線性方程組，我們需要掌握基礎解系的概念，以及如何求一個方程組的基礎解系。清楚明了基礎解系所含線性無關解向量的個數(shù)和系數(shù)矩陣的秩之間的關系。會判斷非齊次線性方程組的解的情況，掌握其求解的方法。此外，考生還需要掌握非齊次線性方程組與其對應的齊次線性方程組的解結構之間的關系。

　　特征值與特征向量，掌握矩陣對角化的方法。這一部分是理論性較強的，理解特征值與特征向量的定義及性質，矩陣相似的定義，矩陣對角化的定義。同學們還需掌握求矩陣特征值與特征向量的基本方法。會判斷一個矩陣是否可以對角化，若可以的話，需要把相應的可逆矩陣P求出來。還需要注意矩陣及其關聯(lián)矩陣(轉置、逆、伴隨、相似)的特征值與特征向量的關系。反問題也是喜歡考查的一類題型，已知矩陣的特征值與特征向量，反求矩陣A。

　　二次型，理解二次型標準化的過程，掌握實對稱矩陣的對角化。二次型幾乎是每年必考的一道大題，一般考查的是采用正交變換法將二次型標準化。掌握二次型的標準形與規(guī)范型之間的區(qū)別與聯(lián)系。會判斷二次型是否正定的一般方法。討論矩陣等價、相似、合同的關系。

　　雖然線性代數(shù)在考研數(shù)學考試試卷中僅有5題，占有34分的分值，但是這34分也不是很輕松就能拿下的。同學們在復習過程中需要對于基礎知識點理解透徹，做考研數(shù)學題過程中多分析總結。

　　2016考研數(shù)學概率解題9大常用思路

　　在考研數(shù)學一和考研數(shù)學三中，概率論與數(shù)理統(tǒng)計部分大約占22%，雖然所占比重較小，但是大家在復習的時候，一樣會感到困難重重，特別是在做習題以及解決實際應用方面遇到的困難會更多一些。為了幫助大家在解題時更輕松一點，小編給大家分享一些考研數(shù)學概率解題常用思路集錦。

　　1、如果要求的是若干事件中“至少”有一個發(fā)生的概率，則馬上聯(lián)想到概率加法公式;當事件組相互獨立時，用對立事件的概率公式。

　　2、若給出的試驗可分解成(0-1)的n重獨立重復試驗，則馬上聯(lián)想到Bernoulli試驗，及其概率計算公式

　　3、若某事件是伴隨著一個完備事件組的發(fā)生而發(fā)生，則馬上聯(lián)想到該事件的發(fā)生概率是用全概率公式計算。關鍵：尋找完備事件組。

　　4、若題設中給出隨機變量X~N則馬上聯(lián)想到標準化~N(0，1)來處理有關問題。

　　5、求二維隨機變量(X，Y)的邊緣分布密度的問題，應該馬上聯(lián)想到先畫出使聯(lián)合分布密度的區(qū)域，然后定出X的變化區(qū)間，再在該區(qū)間內畫一條//y軸的直線，先與區(qū)域邊界相交的為y的下限，后者為上限，而的求法類似。

　　6、欲求二維隨機變量(X，Y)滿足條件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，應該馬上聯(lián)想到二重積分的計算，其積分域D是由聯(lián)合密度的平面區(qū)域及滿足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的區(qū)域的公共部分。

　　7、涉及n次試驗某事件發(fā)生的次數(shù)X的數(shù)字特征的問題，馬上要聯(lián)想到對X作(0-1)分解。即令

　　8、凡求解各概率分布已知的若干個獨立隨機變量組成的系統(tǒng)滿足某種關系的概率(或已知概率求隨機變量個數(shù))的問題，馬上聯(lián)想到用中心極限定理處理。

　　9、若為總體X的一組簡單隨機樣本，則凡是涉及到統(tǒng)計量的分布問題，一般聯(lián)想到用分布，t分布和F分布的定義進行討論。

　　2016考研數(shù)學線性代數(shù)知識點整理

　　第一章行列式

　　1、行列式的定義

　　2、行列式的性質

　　3、特殊行列式的值

　　4、行列式展開定理

　　5、抽象行列式的計算

　　第二章矩陣

　　1、矩陣的定義及線性運算

　　2、乘法

　　3、矩陣方冪

　　4、轉置

　　5、逆矩陣的概念和性質

　　6、伴隨矩陣

　　7、分塊矩陣及其運算

　　8、矩陣的初等變換與初等矩陣

　　9、矩陣的等價

　　10、矩陣的秩

　　第三章向量

　　1、向量的概念及其運算

　　2、向量的線性組合與線性表出

　　3、等價向量組

　　4、向量組的線性相關與線性無關

　　5、極大線性無關組與向量組的秩

　　6、內積與施密特正交化

　　7、n維向量空間(數(shù)學一)

　　第四章線性方程組

　　1、線性方程組的克萊姆法則

　　2、齊次線性方程組有非零解的判定條件

　　3、非齊次線性方程組有解的判定條件

　　4、線性方程組解的結構

　　第五章矩陣的特征值和特征向量

　　1、矩陣的特征值和特征向量的概念和性質

　　2、相似矩陣的概念及性質

　　3、矩陣的相似對角化

　　4、實對稱矩陣的特征值、特征向量及其相似對角矩陣

　　第六章二次型

　　1、二次型及其矩陣表示

　　2、合同變換與合同矩陣

　　3、二次型的秩

　　4、二次型的標準型和規(guī)范型

　　5、慣性定理

　　6、用正交變換和配方法化二次型為標準型

　　7、正定二次型及其判定

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